Vedere ed ammirare la quarta dimensione

Con un semplice accorgimento è possibile dare una sbirciatina alla quarta dimensione

Volete vedere la quarta dimensione? Facilissimo.
Non sembra vero ma la misteriosa quarta dimensione è a portata di mano, anzi di vista.

Infatti con un semplice accorgimento matematico è possibile affacciarsi alla finestra della quarta dimensione e godere dello straordinario spettacolo che essa ci mostra.

Prima di farlo però è indispensabile capire che per i matematici l’introduzione nei calcoli della quarta dimensione non ha mai costituito un problema, tant’è che essi, con le loro equazioni, operano tranquillamente con qualsiasi “n” dimensione e senza nessuna difficoltà.

Per darvi un’idea dell’irrilevanza, in matematica, del numero della dimensione con cui fare i calcoli possiamo ricordare, dai nostri studi scolastici, che:

  • per definire un punto su una linea (1° dimensione) è sufficiente una sola coordinata (x)
  • per definire un punto su un piano – gli assi cartesiani (2° dimensione) – sono necessarie 2 coordinate (x, y)
  • per definire un punto nello spazio – gli assi cartesiani a 3 vettori (3° dimensione) – sono necessarie 3 coordinate (x, y, z)

Quello che molti non sanno è che di questo passo è possibile individuare un punto anche in uno spazio a 4 dimensioni o addirittura a “n” dimensioni, in cui “n” è qualsiasi numero naturale: è sufficiente aggiungere il giusto numero di coordinate ed avere così un punto ben definito in uno spazio di qualunque dimensione (“n” coordinate cioè individuano un punto in uno spazio “enne” dimensionale).

Certo, dopo la terza dimensione si perde la rappresentazione grafica dello spazio (e del punto che si vuole definire), ma questo non toglie ai matematici la possibilità di operare comunque con le loro equazioni in tutte le dimensioni che vogliono.

Detto ciò, per affacciarsi alla quarta dimensione basta fare una “furbata” ragionando nel modo che segue.

Passare dal quadrato (figura a 2 dimensioni) alla sua forma corrispondente della terza dimensione, ovvero il cubo (e quindi dal piano ai solidi) è facile:

content_da quadrato a cubo

Di queste due figure la prima, il quadrato, la immagino su di un piano a 2 dimensioni, l’altra, il cubo, l’immagino eretta nel normale spazio a 3 dimensioni.

Però sappiamo che è possibile rappresentare una forma a 3 dimensioni anche sul piano, cioè a 2 dimensioni.

Nel caso del cubo la rappresentazione a 2 dimensioni è la seguente, che va poi ritagliata dal foglio per formare, piegandola, il classico cubo nello spazio a 3 dimensioni:

content_da quadrato a rappresentazione bidimensionale del cubo

Ed ecco il trucchetto che possiamo usare per intravedere da lontano la quarta dimensione: perché non fare la stessa cosa anche per il cubo della quarta dimensione o ipercubo? Cioè, perché non rappresentare graficamente il cubo a 4 dimensioni, detto ipercubo, nelle nostre conosciute 3 dimensioni spaziali?

Una volta rappresentato a 3 dimensioni basterà “ritagliarlo” e “piegarlo”, come abbiamo fatto sopra per il normale cubo, in modo di avere un’idea di come è fatto un solido in 4D (in questo caso un ipercubo).

Come si rappresenta in 3D un cubo a 4D? Si può ragionare così: se il quadrato ha 4 angoli e 4 lati, mentre il cubo ha 8 vertici e 12 spigoli, quanti vertici e spigoli avrà l’ipercubo?

E’ sufficiente utilizzare una semplice progressione per arrivare alle seguenti formule, valide per qualsiasi solido a “n” dimensioni:

numero vertici = 2n

numero spigoli = n x 2n-1

Pertanto l’ipercubo avrà 16 vertici e 32 spigoli.

A questo punto abbiamo tutti i dati per rappresentare l’ipercubo quadrimensionale nello spazio a 3 D:

content_da cubo a ipercubo

content_ipercuboEccolo qui dunque l’ipercubo, ovvero il cubo a 4 dimensioni (rappresentato ovviamente in 3 D). Per vedere e conoscere la famosa quarta dimensione basta “tagliarlo” e “piegarlo”. Peccato che per fare queste ultime operazioni abbiamo bisogno di inserire nella nostra costruzione le variabili tempo e velocità della luce, che rendono la cosa un tantino più difficile e, per adesso, impraticabile !

Crocefissione

 

Ma non sono stati solo i matematici a capire che il cubo in un mondo a 4D sarebbe il ritaglio ed il montaggio della figura sopra disegnata.

Anche gli artisti hanno assaggiato questo antipasto di quarta dimensione e ce lo hanno servito meravigliosamente.

Per esempio nel quadro di Salvador Dalì “Crocefissione” o “Corpus Hypercubus” del 1954  si vede Gesù Cristo crocefisso proprio ad un ipercubo, come se la sua essenza andasse al di là del mondo tridimensionale nel quale viviamo noi semplici mortali.

L’effetto è bellissimo.

Avreste mai immaginato che fosse possibile sbirciare dalla finestra della 4° dimensione?

La nostra speranza è che anche voi ne siate rimasti favorevolmente impressionati.

Ciao a tutti.

Autore: Steve Round

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