Fare previsioni con la matematica

Un modo semplice per stimare grandezze future con la matematica
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Pochi sanno che la matematica permette di prevedere il futuro. Detta così suona come una bufala, ma in realtà è proprio vero: la matematica aiuta a prevedere una grandezza futura in base ai dati storici (riscontrati in passato) di quella stessa grandezza.

La formula per stimare una quantità futura sulla base dei suoi dati passati è anche abbastanza semplice.

Essa è nota come “metodo dei minimi quadrati”, perché con tale calcolo di fatto si prevede un dato futuro mediante la sostituzione dei valori storici con una retta interpolante (cioè che approssima i dati passati), la quale minimizza l’errore utilizzando il metodo appunto dei minimi quadrati (degli scarti dai valori reali).

Al di là di questi tecnicismi, quello che è importante sapere è che è possibile prevedere per esempio l’importo delle vendite di un’azienda per l’anno prossimo, sapendo quant’è stato il suo volume di vendite negli anni addietro.

E questa stima di un valore futuro può essere fatta (con un errore che dovrebbe essere matematicamente il più limitato possibile) per qualsiasi altra grandezza: costi, margine lordo, profitto, per restare in campo economico, ma anche spese per bollette elettriche, gas, acqua e via dicendo, se vogliamo invece applicare la formula in ambito familiare.

L’importante è che i dati passati si riferiscano a periodi di tempo (anni, mesi, giorni, …) tutti di eguale ampiezza e non ci siano buchi nello storico dei valori utilizzati per la previsione della prossima quantità.

 

Ovviamente più i dati dello storico sono numerosi e più la previsione sarà da considerarsi attendibile, cioè maggiormente approssimativa del futuro valore reale.

La formula che predice il dato del periodo successivo è la seguente (solo apparentemente complessa):

Previsione = Mqs + 6 x [ (n + 1) / (n2 – 1) ] x [ (ni=1Xi i)/n – Mqs x (n+1)/2 ]

in cui:

Mqs è la media aritmetica dei valori passati, cioè la Media quantità storiche

n è il numero di periodi passati (ad es. gli anni oppure i mesi) usati per stimare il valore futuro

ni=1Xi i/n è la media aritmetica dei prodotti di ciascun valore storico moltiplicato per il numero d’ordine del periodo cui lo stesso si riferisce (è sicuramente il dato più difficile da calcolare, ma una volta quantificato questo, il resto delle operazioni è relativamente semplice)

Comunque un esempio vale più di mille parole.

Esempio

Ipotizziamo di voler conoscere l’importo della prossima bolletta dell’acqua che dovrò pagare.

Le 4 bollette riferite agli ultimi periodi presentavano questi importi (in ordine cronologico):

  1. euro 77,00
  2. euro 54,00
  3. euro 12,00 a credito
  4. euro 49,00

Per conoscere il probabile importo della nuova bolletta che arriverà, bisogna fare i seguenti calcoli:

innanzitutto calcoliamo la media degli importi

Media (Mqs) = [77 + 54 – 12 (colo segno “meno” perché a credito) + 49] / 4 = 168 / 4 = 42

Poi quantifichiamo il valore che abbiamo chiamato media dei prodotti per il numero d’ordine dei periodi di osservazione (ni=1Xi i/n)

ni=1Xi i)/n = [(1 x 77) + (2 x 54) – (3 x 12) + (4 x 49)] / 4 = (77 + 108 – 36 + 196) / 4 = 345 / 4 = 86,25

adesso non rimane che inserire i valori trovati nella formula di cui sopra (in neretto i valori già trovati)

Previsione = 42 + 6 x [ (4 +1) / (16 – 1) ] x [ 86,2542 x (4 + 1)/2 ] = 42 + 6 x (1/3) x – (18,75) = 4,50

L’approssimazione del risultato che si ottiene rispetto al valore reale (l’importo della bolletta dell’acqua che deve ancora arrivare), cioè la bontà della previsione, può essere graficamente rappresentata dall’immagine che segue:

previsioni

La retta rossa indica i valori storici dei pagamenti dell’acqua domestica.
La retta verde indica l’interpolazione previsionale compiuta con i calcoli della formula.

Comunque, per chi non abbia voglia di fare i calcoli descritti, proponiamo il seguente semplice programma che permette di calcolare il dato di previsione previo inserimento, nelle apposite celle bianche, dei valori passati.
(usate la virgola e non il punto per i decimali; nel caso che un valore sia uguale a zero, non lasciate la riga vuota ma digitate lo zero; le celle vanno invece lasciate vuote quando per un periodo manca il valore)

Autore: Steve Round

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