Legge dei grandi numeri: una nuova interpretazione

Un diverso approccio alla famosa legge probabilistica dei grandi numeri

Tutti conosciamo la famosa legge statistica dei grandi numeri, studiata nel calcolo delle probabilità. Essa in particolare dice che eseguendo un numero grandissimo di prove, al limite infinito, la frequenza relativa di un evento tende inesorabilmente verso la probabilità dell’evento stesso. Ad esempio se lanciamo una moneta un grandissimo numero di volte, la frequenza relativa dell’uscita “testa” tende verso la probabilità che si verifichi proprio questo evento, cioè ½ o 50%.

Il nostro studio vuole approfondire questa tanto discussa legge probabilistica (che peraltro è alla base di quasi tutti i giochi d’azzardo e le scommesse), affrontando però l’argomento con un approccio diverso ed innovativo, più facilmente comprensibile.

Evento a doppia possibilità: lancio di una moneta

Cominciando dal semplice evento a doppia possibilità del tipo lancio di una moneta ed uscita di testa o croce, consideriamo esclusivamente gli scostamenti che si verificano ad ogni lancio, per n lanci, rispetto a quello che dovrebbe essere il comportamento perfetto della moneta in base alla probabilità degli eventi (testa o croce). In altre parole se sappiamo che l’evento testa (o l’evento croce) ha una probabilità pari al 50% (½) di verificarsi, ci aspetteremmo di avere, dopo 2 lanci della moneta, una volta testa ed una volta croce (in modo tale che la frequenza relativa dei due eventi coincida perfettamente con la loro probabilità) e quindi uno scostamento dalla probabilità attesa pari a zero.

Per ogni lancio di moneta si potrebbe fare così, per semplificare il tutto:

  • se esce testa sommo 1 (quindi faccio +1)
  • se esce croce sottraggo 1 (quindi faccio – 1)

La somma cumulata (algebrica) di questi +/– 1 dovrebbe azzerarsi frequentemente durante i lanci, prima di arrivare alla fine degli stessi (n lanci) e ciò per il rispetto della legge dei grandi numeri. Il che equivale a dire che la frequenza relativa dell’evento testa dovrebbe spesso uguagliarsi a quella dell’evento croce, così da rispettare, per n lanci, il teorema probabilistico dei grandi numeri che si vuole dimostrare.

Si può vedere la cosa graficamente, mettendo sugli assi cartesiani questa sequenza (la funzione somma dei +/–1) di risultati registrati per n lanci di moneta.

Tutte le volte che la curva (espressiva della somma algebrica e quindi degli scostamenti) tocca lo zero, ovvero l’asse delle ascisse, significa che a quel numero di lancio le frequenze dei due eventi sono pari e la nostra legge delle probabilità è rispettata.

Abbiamo fatto questo test mediante excel ed i grafici appresso riportati evidenziano alcuni dei risultati raggiunti.

content_lancio moneta 1content_lancio moneta 2content_lancio moneta 3

Come vedete negli esempi sopra rappresentati la curva degli scostamenti alcune volte ritorna allo zero durante il suo dispiegarsi (spesso in più punti), mentre altre volte no. Ma questo è solo un limite insito nel fatto che i lanci sono in numero finito ed infatti basta aumentarli per trovare comunque dei punti in cui la curva torna allo zero, esprimendo cioè l’uguaglianza matematica esatta tra le frequenze relative dei due eventi testa e croce.

Notiamo che, in alcuni casi, la curva si distanzia anche di molto dall’asse delle ascisse, a ricordarci che il teorema dei grandi numeri è vero, ma appunto per grandi numeri: in ciascun lancio non possiamo aspettarci il rispetto della legge e perciò giocare e scommettere sui ritardi è stupido, perché il “riallineamento” delle frequenze degli eventi può avvenire in un numero di estrazioni molto, molto elevato.

In ogni caso, a conferma del nostro esperimento e quindi della veridicità della legge dei grandi numeri, ci sovviene Ian Stewart, professore di matematica all’Università di Warwick, il quale ci dice addirittura che, pure nei casi in cui la curva non sembra ritornare a zero (cioè quando si allontana di molto dall’asse delle ascisse), essa ci ritornerà sicuramente, anche se servirà un numero maggiore di lanci. Cioè l’uguaglianza degli eventi, in caso di doppio evento come per il lancio di una moneta, è considerata certa, ovvero con probabilità 1 (sicurezza del verificarsi dell’evento).

Evento a 4 possibilità egualmente probabili: estrazione di una carta da un mazzo di quattro carte (dall’asso al 4)

Alle stesse conclusioni giungiamo anche se prendiamo in considerazione una scommessa con 4 possibili esiti (anziché 2 come con il testa o croce), tutti con la stessa probabilità di verificarsi (¼ o 25%): per es. l’estrazione ripetuta di una carta da un mazzo di sole 4 carte (dall’asso al quattro), ovviamente reinserendo ogni volta la carta estratta nel mazzo prima di procedere alla successiva estrazione.

In questa eventualità non ci è più sufficiente un asse monodimensionale per raffigurare graficamente gli scostamenti delle estrazioni ripetute, ma abbiamo bisogno dell’intero piano cartesiano.

Per analizzare il problema possiamo infatti associare, sul piano cartesiano, ad ogni estrazione di una carta i seguenti movimenti, sempre allo scopo di semplificare il tutto:

  • se esce asso mi sposto verso destra (quindi faccio +1 sull’asse delle ascisse)
  • se esce 2 mi sposto verso sinistra (quindi faccio – 1 sull’asse delle ascisse)
  • se esce 3 mi sposto verso l’alto (quindi faccio + 1 sull’asse delle ordinate)
  • se esce 4 mi sposto verso il basso (quindi faccio – 1 sull’asse delle ordinate)

Con le suddette modalità di comportamento l’uguaglianza delle frequenze relative (che adesso sono 4) è rappresentata dal fatto che il movimento casuale della curva di scostamento ritorna all’origine, cioè nel punto di intersezione degli assi, dove le coordinate valgono (0;0), ad indicare appunto l’assenza di scostamento per tutti gli esiti delle estrazioni.

Come sempre qualche esempio vale più di mille parole.

content_estrazione carte 1content_estrazione carte 2content_estrazione carte 3

I ghirigori raffiguarati sono causati dall’andamento delle curve di scostamento nelle n estrazioni simulate.

Anche qui, come nel caso dei lanci di moneta, qualche volta la curva degli scostamenti ritorna all’origine degli assi e qualche volta no. Ma, in quest’ultimo caso, è solo perché dobbiamo estendere n, cioè il numero di estrazioni di carte dal mazzo, per avere il ritorno della curva a (0;0) e quindi l’equa ripartizione degli esiti delle prove in quel momento.

Pertanto pure questa rappresentazione della legge del caso è ragionevole e ce la potevamo aspettare, perché non ci dice altro che, in effetti, se prendiamo un n abbastanza grande, le frequenze relative quantificano (esattamente) le probabilità che ci aspettavamo per ogni esito dalla scommessa (l’estrazione di uno dei 4 punti da un mazzo di quattro carte).

Tuttavia notiamo, e ciò è importante, che rispetto al lancio della moneta, il ritorno a zero (alle origini degli assi) è qui molto meno frequente: sembra che più aumentino gli esiti possibili del gioco e più le frequenze hanno difficoltà a rappresentare esattamente le probabilità.

Comunque, anche per questo tipo di scommessa, il Professor Ian Stewart ci dice che la probabilità che la curva ritorni a zero (e quindi le frequenze rappresentino esattamente le probabilità) è certa.

Pertanto possiamo affermare, pure per questa tipologia di gioco, che la legge dei grandi numeri riceve un’ulteriore empirica conferma.

Evento a 6 possibilità egualmente probabili: lancio di un dado

Ma cosa succede se adesso sperimentiamo il nostro approccio, mediante la tecnica degli scostamenti, con un evento a 6 possibilità, tutte egualmente probabili (1/6), come per es. il lancio di un dado?

Ci dovremmo aspettare che, anche in questo gioco, la curva degli scostamenti ritorni a zero, sia pur raramente.

Invece, sorpresa, non sempre è così ed infatti il matematico da noi citato nell’articolo, Ian Stewart, ha dimostrato che, nel lancio ripetuto di un dato (o giochi simili), la probabilità di avere frequenze esattamente pari alle probabilità è pari a solo il 34,05% delle volte.

Addirittura in giochi con 8 esiti la probabilità scende ulteriormente (è stata stimata al 19,32%).

In altre parole con il lancio di un dado (e per tutti i giochi che hanno 6 ed oltre esiti equiprobabili) non abbiamo più la certezza che esista un punto, cioè un numero di prove, in cui le frequenze relative degli esiti siano esattamente pari alle loro probabilità attese.

Mi piacerebbe darvi anche qui, per il lancio di un dado, una rappresentazione per immagini di quanto affermato, ma non sono riuscito a creare in excel un grafico a 3 dimensioni (anzi se qualcuno sa come si fa mi può scrivere perché sono curioso di saperlo).

Conclusione

Qual è, infine, la conclusione che si può trarre da tutto questo discorso e da questi esperimenti?

Possiamo forse affermare che la legge dei grandi numeri è in qualche modo parzialmente confutata?

Ovviamente la risposta è assolutamente no, perché essa è e rimane validissima, ma adesso possiamo interpretarla nel suo giusto verso: è vero che la legge dei grandi numeri fa tendere le frequenze verso le probabilità man mano che aumentano il numero delle prove, ma non c’è sempre la certezza che ciò si verifichi con esattezza numerica puntuale.

E questa conclusione ha delle conseguenze pratiche importantissime, perché mette fortemente in dubbio l’abitudine di molti giocatori e scommettitori di puntare sui ritardi: abbiamo infatti visto che, senza ombra di dubbio, potrebbe non verificarsi mai l’equidistribuzione delle frequenze che la tecnica dei ritardi presuppone.

Conseguenza: chi gioca sui ritardi fa un cosa stupida, e non perché la moneta o il gioco di carte non abbiano memoria (come pure si dice), ma perché abbiamo dimostrato che, anche se ce l’avesse, essa non funziona bene.

Precisiamo pure che ciò è vero nel 34% dei casi in giochi con 6 possibilità e via a scendere drasticamente per giochi con esiti più numerosi. Pensate a quanta sia bassa la probabilità di raggiungere frequenze equamente ripartite in giochi, come il lotto, in cui i possibili risultati di estrazione sono addirittura 90 ?!

Prima di congedarci e dopo quest’ampia discussione sulla legge delle probabilità vogliamo farvi un regalo. Trovate a questo collegamento il file excel con gli esperimenti effettuati ed in particolare nel primo foglio la dimostrazione statistica per il lancio di un dado e nel secondo foglio quella per l’evento a 4 esiti.

Per ciascuna dimostrazione trovate:

  • l’estrazione dei numeri casuali
  • il percorso (con le coordinate cartesiane) della curva degli scostamenti
  • il calcolo delle frequenze assolute e relative
  • il numero di volte che la curva ritorna a zero dopo la sua partenza
  • soprattutto, il grafico della curva stessa.

Premete il tasto F9 per estrarre continuamente nuovi numeri casuali, vedrete che tutti i valori ed il grafico si modificheranno automaticamente.

Autore: Steve Round

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