I quadrati magici sono quei quadrati contenenti numeri (3 o più per ogni riga/colonna) che in qualche modo formano una particolare curiosità matematica, in virtù delle caratteristiche dei numeri stessi. Per esempio potrebbero essere composti da numeri la cui somma fornisce sempre un identico risultato per ciascuna riga e colonna.

Proprio uno di questi quadrati magici è alla base di un simpatico gioco di prestigio che non mancherà di allietare le vostre serate tra amici.

L’idea l’ho presa dal libro “Le meraviglie della matematica” di Albecht Beutelspacher (edizioni “Ponte alle Grazie”), un saggio che vi consiglio vivamente di leggere perché, con un linguaggio molto semplice e riferito alle normali vicende quotidiane, avvicina egregiamente alla matematica, aprendo la strada alla comprensione delle grandi questioni di questa avvincente materia (numeri primi, serie esponenziali, calcolo binario, ecc…).

Il gioco di prestigio di cui trattasi utilizza un quadrato magico 4 x4 (ovvero con 4 colonne e 4 righe) e si svolge pressappoco così: si chiede ad una persona del pubblico di dire ad alta voce un numero qualsiasi. Il gioco funziona con tutti i numeri interi maggiori di 20, ma per vostra comodità di calcolo è meglio limitare la scelta chiedendo di scegliere un numero maggiore di 20 e non più grande di 100.

Una volta compiuta la scelta dello spettatore, voi sarete in grado di tracciare su una lavagna o, in mancanza, su un semplice pezzo di carta un quadrato magico 4×4 in cui non solo la somma dei 4 numeri di ciascuna colonna e di ciascuna riga corrisponde al numero dichiarato, ma anche quella delle due diagonali, dei due quadrati interni (formati da 4 numeri) posti in alto a sinistra e a destra del quadrato magico, dei due quadrati interni speculari (di pari grandezza) in basso a sinistra e a destra, del quadrato interno centrale (sempre composto di 4 numeri) e addirittura dei 4 numeri angolari!!

Per farvi capire bene, nel seguente disegno sono indicate le combinazioni di numeri, all’interno del quadrato magico, la cui somma dà luogo allo stesso identico risultato (nell’esempio 99):

Come ci siete riusciti? Avete mandato a memoria 80 quadrati magici, uno per ogni numero che poteva essere scelto?

L’effetto è senz’altro strepitoso, ma niente paura non è richiesta alcuna genialità matematica per riuscire a costruire un quadrato magico di questo tipo e ciò indipendentemente dal numero scelto dallo spettatore (che può andare, ricordiamolo, da 20 a 100).

Basta mandare a memoria la seguente formula: 21a + b

“a” e “b” sono due numeri da calcolare mentalmente ed in particolare “a” è il risultato (prendendo solo la parte intera prima della virgola) della divisione del numero dichiarato per 21, mentre “b” è il numero di resto della stessa divisione.

E’ meno difficile di quanto sembri ed un esempio numerico aiuta più di mille parole.

Poniamo che il numero scelto sia 77: il 21 nel 67 entra 3 volte (perché 21+21+21=63), per cui “a” è uguale a 3; “b” sarà invece uguale a 14, perché da 63 a 77 ne corrono 14. Quindi: “a” = 3 e “b” = 14.

Come vedete il calcolo mentale non è difficile, perché con numeri non superiori a 100 la divisione potrà dare come “a” al massimo 4 (cioè al massimo 84=21×4), mentre “b” è facilmente calcolabile come numero residuo, ottenibile dalla facile equazione: numero scelto – (21 x “a”).

A questo punto, fissati “a” e “b”, siete perfettamente in grado di disegnare il quadrato magico: è sufficiente rispettare le indicazioni del seguente quadrato base:

Certo bisogna ricordarsi la posizione nel quadrato di ciascun prodotto, ma in fondo è richiesto uno sforzo mnemonico paragonabile alla fatica di imparare a memoria una poesia di sole 16 parole: alle elementari gli scolari fanno molto di più. Inoltre è uno sforzo soprattutto di memoria visiva.

Per aiutarvi ho fatto un programmino che, dato un numero qualsiasi (da inserire nella cella verde), calcola “a” e “b” e scrive l’intero quadrato magico.

Buon divertimento!