La Teoria matematica dei giochi studia in sostanza il miglior comportamento da tenere nei casi in cui bisogna prendere una decisione di fronte ad una serie di alternative e variabili. La scelta da effettuare dipende infatti dagli equilibri che si potrebbero creare in virtù delle diverse possibilità.

Questa Teoria è spesso associata al geniale e folle matematico John Nash (quello del film “A beautiful mind”, in cui Nash è interpretato dal bravissimo Russel Crowe). Nash ha vinto il premio Nobel per l’economia – il Nobel per la matematica non esiste (1) – proprio per le applicazioni, nei mercati dei beni e servizi, dei suoi studi sulla Teoria dei giochi. In realtà essa è nata molto prima delle pubblicazioni di Nash: per esempio il celebre filosofo e matematico Blaise Pascal l’ha utilizzata per dimostrare la convenienza a credere sempre nell’esistenza di Dio, se non altro per motivi di semplice convenienza logica (2).

Sulla Teoria dei giochi sono stati scritti numerosissimi trattati, tuttavia essa è stata sempre relegata alle discussioni fra studiosi, quando invece può avere utili e semplici applicazioni pratiche.

Proviamo quindi ad utilizzare tale Teoria, in particolare quella relativa alle scelte 2 x 2 (cioè 2 strategie cui conseguono 2 effetti ciascuna), per prendere le decisioni di tutti i giorni.

Il punto di partenza consiste nel fissare 2 possibili alternative di comportamento e cogliere per ciascuna di esse 2 aspetti o conseguenze che potrebbero derivare dalla scelta compiuta. Dopodiché si attribuiscono dei punteggi di utilità ad ognuno dei possibili esiti, i quali, stante la presenza di una matrice 2 x 2, sono costituiti al massimo da 4 opzioni.

Comunque tutto questo è più facile da spiegare con dei semplici esempi e pertanto di seguito sono formulate delle esemplificazioni molto realistiche. Teniamo tuttavia presente che le decisioni ottimali possono essere analizzate anche mediante la tecnica del valore atteso, ma ciò implica la stima (oltre che dell’utilità di ciascuna conseguenza) anche della probabilità del verificarsi di ogni evento, rendendo ancor più difficile il calcolo.

Gli esempi che seguono sono tratti dalla vita quotidiana di qualsiasi famiglia.

Ipotizziamo di avere la necessità di scegliere la scuola superiore del proprio figlio e le due alternative sono quelle tradizionali: Liceo classico o Liceo scientifico. Per ogni scuola si evidenziano inoltre due possibili variabili, rappresentate nel caso specifico dalla facilità (soggettiva) dell’indirizzo scelto e dalla probabilità di trovare lavoro con ciascuno di questi diplomi in mano. In base alle proprie preferenze si attribuisce quindi un punteggio di utilità/sacrificio, ad esempio secondo una scala da 0 a 100 (0 per l’utilità minima; 100 per quella max):

Come si legge nella tabella, non esiste (purtroppo) una strategia sicura o certa ma solo una strategia alternativa, per la quale, stante i valori di preferenza inseriti, su 100 casi ben due volte su tre (2/3; il 67% circa) viene premiato chi sceglie il Liceo classico.

Per chi fosse interessato al procedimento logico/matematico che c’è dietro, gli step da seguire sono i seguenti:

1. Strategia sicura. Si controlla se una delle due decisioni possibili può contare su un punteggio maggiore dell’altra per entrambe le conseguenze (oppure, il che è lo stesso, se una conseguenza ha il punteggio minore dell’altra per entrambe le strategie possibili). In questo caso c’è una strategia sicura da applicare e la decisione da prendere è quindi quella che vanta il punteggio più favorevole.
2. Strategia alternativa. Qualora non esista una strategia sicura (come si verifica frequentemente) è possibile applicare una strategia alternativa, che consiste nello scegliere la strategia con la più alta percentuale di “correttezza”. Cioè la decisione da prendere è quella che, con i punteggi assegnati, rappresenta la scelta mediamente più giusta in caso la decisione fosse presa per un numero considerevole di volte (più precisamente per 100 volte, perché il calcolo è in percentuale). A differenza della strategia sicura, la strategia alternativa è un ripiego che non assicura la certezza della scelta, esendo basata esclusivamente sulla frequenza delle decisioni adottate (per es. su 100 eventi, 75 volte la decisione presa potrebbe rivelarsi quella giusta).

Altro esempio: devo scegliere tra lo sport da frequentare questa stagione. La decisione è fra il nuoto ed il tennis e le conseguenze prese in considerazione sono il divertimento che provo nel praticare ciascuno di questi sport e la forma fisica che ne ricevo. Ecco la realtiva tabella:

Come si evince dalla tabella, anche in questo caso non esiste una strategia sicura ma solo una strategia alternativa: in 3 casi su 4 (il 75% delle volte) è premiato chi opta per il tennis (con buona pace della forma fisica che solo il nuoto sa dare).

Infine, se sono l’allenatore di una squadra, posso utilizzare la Teoria dei giochi nella sua versione 2 x 2 per capire la strategia sportiva da adottare quando mi scontrerò con un’altra squadra. Per esempio se non ho una grande attacco, ma ho una discreta difesa, posso tabellare i seguenti punteggi (e la decisione strategica che ne consegue) in funzione del presunto atteggiamento – difensivo o di attacco – della squadra avversaria, evidenziato nelle colonne (le righe rappresentano invece le mie strategie alternative):

Stavolta esiste una strategia sicura, rappresentata dallo giocare in difesa. Secondo il nostro algoritmo infatti e sulla base delle caratteristiche della nostra squadra (espressse dai punteggi inseriti) la strategia della difesa premia in ogni caso, cioè sia qualora la squadra avversaria decida di giocare all’attacco, sia nell’eventualità che essa preferisca difendersi.

Dopo le dovute sintetiche spiegazioni di cosa c’è dietro la Teoria dei giochi, ecco di seguito il programma per arrivare a decisioni consapevoli: è sufficiente digitare (nelle celle bianche) le possibili decisioni da prendere (nelle righe) e gli effetti potenziali (nelle colonne), nonché il punteggio di utilità per ognuna delle 4 possibili conclusioni del gioco. Il programma calcola automaticamente la strategia sicura o quella alternativa da adottare, con le relative percentuali:

Note

1. Si dice che il Nobel per la matematica non esista perché Alfred Nobel, quando ha istituito il premio che porta il suo nome, non voleva che esso andasse al miglior matematico del periodo, il quale era l’amante di sua moglie.
2. La famosa scommessa di Pascal sull’esistenza di Dio può essere rappresentata da questa tabella 2 x 2 della Teoria dei giochi, in cui risulta che credere in Dio è sempre la migliore scelta da fare, perché è quella con il miglior risultato atteso: