La funzione di produzione di Cobb-Douglas è un modello matematico che descrive come i fattori produttivi (lavoro e capitale) influenzano la produzione di beni e servizi in un’azienda o in un’intera economia.

In particolare, la funzione di produzione di Cobb-Douglas ha la seguente forma:

Y = A x (K^α x L^β)

Dove:

Y rappresenta la produzione totale
A è un parametro che rappresenta il progresso tecnologico
K rappresenta il capitale produttivo
L rappresenta il lavoro impiegato nella produzione
α e β sono parametri che misurano l’importanza relativa del capitale e del lavoro nella produzione

In particolare:

• se la somma dei coefficienti (α + β) è eguale a 1, la funzione di produzione presenta rendimenti costanti (aumentando l’impiego di L e K, la produzione cresce nella stessa proporzione)
• se, invece, la somma (α + β) è minore di 1 si hanno rendimenti decrescenti, cioè aumentando L e K, la produzione cresce meno che proporzionalmente
• se, infine, la somma (α + β) è maggiore di 1 si hanno rendimenti crescenti, ovvero aumentando L e K, la produzione cresce più che proporzionalmente.

(grafico della Funzione di produzione Cobb-Douglas in cui: A=11,8; α=0,4; β=0,6)

In pratica, la funzione di produzione di Cobb-Douglas ci dice che se aumentiamo il capitale produttivo o il lavoro impiegato nella produzione, allora la produzione totale aumenta, ma con un’elasticità decrescente (o rendimenti decrescenti). Ciò significa che ogni unità aggiuntiva di capitale o di lavoro ha un impatto positivo sulla produzione totale (ovvero la fa crescere), ma questo impatto diminuisce all’aumentare della quantità di capitale o lavoro impiegata (il tasso di crescita diminuisce, cioè i rendimenti diminuiscono man mano che si aggiungono capitale o lavoro).

La formula dell’elasticità della produzione è la seguente:

Un valore di ε :

• pari a 1, indica che i fattori produttivi sono utilizzati in modo efficiente
• inferiore a 1, indica che l’impresa o il sistema economico potrebbero aumentare la produzione, utilizzando in modo più efficiente i propri fattori produttivi, perchè siamo in presenza di rendimenti descrescenti nell’utilizzo degli stessi
• maggiore di 1, indica che l’impresa o il sistema economico potrebbe produrre di più, utilizzando una quantità inferiore di fattori produttivi rispetto a quanto attualmente utilizza; in altre parole, un valore di ε superiore a 1 indica che l’impresa ha margini di miglioramento nell’utilizzo dei propri fattori produttivi e potrebbe produrre di più senza aumentare i costi, utilizzando in modo più efficiente il capitale ed il lavoro a sua disposizione

In sintesi, la funzione di produzione di Cobb-Douglas è un modello semplice ma potente, che ci aiuta a capire come i fattori produttivi influenzano la produzione totale. La sua flessibilità lo rende uno strumento molto utile per analizzare l’economia, dalle singole imprese all’intera economia di un paese.

Adesso facciamo un esempio pratico.

Un esempio concreto di applicazione della funzione di produzione di Cobb-Douglas potrebbe riguardare l’analisi dell’efficienza produttiva di un’azienda manifatturiera.

Supponiamo di avere una fabbrica che produce biciclette utilizzando lavoro e capitale come fattori produttivi.

La funzione di produzione di Cobb-Douglas per la fabbrica ha la consueta forma:

Y = A x (K^α x L)^β

Dove:

Y rappresenta la produzione totale di biciclette
A rappresenta il progresso tecnologico
K rappresenta il capitale produttivo (ad esempio, macchinari, attrezzature, strumenti)
L rappresenta il lavoro impiegato nella produzione
α e β sono parametri che misurano l’importanza relativa del capitale e del lavoro nella produzione

Supponiamo che la fabbrica abbia un capitale produttivo pari a 100 e impieghi 20 lavoratori per la produzione di biciclette. Inoltre, supponiamo che il valore di α sia pari a 0,4 e il valore di β sia pari a 0,6.

Utilizzando la funzione di produzione di Cobb-Douglas, possiamo calcolare la produzione totale di biciclette come:

Y = A x (K^0,4 x L)^0,6 = A x 100^0,4 x 20^0,6

Y = A x 13,44 x 31,62

Y = A * 424,9

Supponiamo ora di conoscere il valore effettivo della produzione totale di biciclette, che è pari a 5.000 unità.

Con questa informazione possiamo, tra le altre cose, stimare il parametro del progresso tecnologico in tema di produzione di biciclette, ovvero: A = 5.000 / 424,9 = 11,8

Inoltre, possiamo anche calcolare il livello di efficienza produttiva della fabbrica utilizzando la formula dell’elasticità della produzione rispetto ai fattori produttivi:

ε = (α x Y) / K + (β x Y) / L

In questo caso, avremmo:

ε = (0,4 * 5000) / 100 + (0,6 * 5000) / 20 = 200 + 1500

ε = 1.7

Un valore di efficienza produttiva pari o maggiore di 1 indica che l’impresa utilizza in modo efficiente i propri fattori produttivi, mentre un valore inferiore a 1 indica che l’impresa potrebbe aumentare la produzione utilizzando in modo più efficiente i propri fattori produttivi, perchè sarebbe caratterizzata da rendimenti decrescenti.

Nell’esempio, il valore di ε calcolato è pari a 1.7, il che indica che l’impresa sta utilizzando in modo relativamente efficiente i propri fattori produttivi, ma ha ancora margini di miglioramento nell’ottimizzazione dell’utilizzo del lavoro e del capitale per produrre una quantità maggiore di biciclette senza aumentare i costi, ovvero utilizzando una quantità inferiore di fattori produttivi rispetto a quanto attualmente utilizza.

La funzione di produzione di Cobb-Douglas ha numerose applicazioni in diversi campi dell’economia. Ecco alcuni modi (non esaustivi) per utilizzare la funzione di Cobb-Douglas, partendo dall’esempio appena fatto:

• Analisi dell’efficienza produttiva
  la funzione di produzione di Cobb-Douglas può essere utilizzata per valutare l’efficienza produttiva di un’impresa o di un’intera economia. Infatti, se si conoscono i valori di K, L e Y, è possibile calcolare l’elasticità della produzione rispetto ai fattori produttivi e capire se l’impresa o l’economia utilizza in modo efficiente i propri fattori produttivi.
• Analisi dei salari
  la funzione di produzione di Cobb-Douglas può anche essere utilizzata per studiare la relazione tra la quota di lavoro impiegata nella produzione e i salari pagati ai lavoratori. Infatti, se si conoscono i valori di K, L e Y, è possibile calcolare il rapporto tra il reddito totale generato dalla produzione e il numero di lavoratori impiegati, e quindi capire come la quota di lavoro nella produzione influenza i salari.
• Analisi della crescita economica
  la funzione di produzione di Cobb-Douglas è spesso utilizzata per analizzare la crescita economica di un paese nel lungo periodo. Infatti, la funzione ci dice che la crescita economica dipende non solo dalla quantità di lavoro e di capitale produttivo, ma anche dal progresso tecnologico, e quindi può essere utilizzata per formulare politiche economiche volte a promuovere la crescita sostenibile nel tempo.
• Analisi dei prezzi
  la funzione di produzione di Cobb-Douglas può anche essere utilizzata per analizzare la relazione tra i prezzi dei beni e dei servizi e i fattori produttivi impiegati nella loro produzione. Infatti, la funzione ci dice che la produzione dipende sia dal lavoro che dal capitale produttivo, e quindi i prezzi dei beni e dei servizi possono variare in modo diverso a seconda dell’elasticità della produzione rispetto a ciascun fattore produttivo.