Stato stazionario della Funzione di produzione

Stato stazionario della Funzione di produzione

Abbiamo detto che il capitale (per occupato) è fondamentale per ottenere la quantità di produzione (per occupato). Ricordiamo che lo stock di capitale deriva (ovviamente) dall’accumulazione di capitale nel tempo e questa accumulazione è il risultato degli investimenti da parte degli operatori (imprese).

Di conseguenza il ciclo produttivo del sistema economico è il seguente:

Stock di capitale al tempo t
↓
Produzione
↓
Risparmio/Investimento
↓
Incremento Stock di capitale
↓
Stock di capitale al tempo t+1
↓
e così via …

Gli investimenti I sono quindi importantissimi nella nostra Funzione di produzione. Questi investimenti, secondo la teoria Keynesiana debbono essere uguali al risparmio S, il quale a sua volta può essere scritto così:

I = S = sY

Ovvero, gli investimenti I sono uguali al risparmio S (con qualche semplificazione su spesa pubblica ed import/export), il quale risparmio collettivo è una percentuale (s minuscolo) della produzione totale Y.

Ipotizzando rendimenti di scala costanti, popolazione e progresso dati, possiamo quindi scrivere (facendo qualche passaggio matematico e combinando la Funzione di produzione con gli investimenti/risparmio sY), questa nuova equazione:

dove:

K_t+1 = il capitale al tempo t+1 (futuro)
K_t = il capitale al tempo t (oggi)
δ = il tasso di deprezzamento del capitale (cioè la sua perdita di valore)
s = propensione al risparmio delle imprese (quanta parte di un euro di reddito va agli investimenti)
L = lavoro, cioè il numero di lavoratori impiegati

Con qualche ulteriore passaggio e sostituendo alla s(Y/L) il nostro rapporto (da Funzione di produzione) F(K/L) otteniamo infine un’equazione importantissima:

Trattasi di una equazione importantissima perché è come scrivere:

incremento del capitale	=	investimenti al tempo t	–	deprezzamento al tempo t
	=		–

L’incremento del capitale è dato dalla differenza tra investimenti e deprezzamento del capitale al tempo t e dunque:

• se prevalgono gli investimenti (per lavoratore) sul deprezzamento (per lavoratore) il capitale (per lavoratore) cresce
• se prevale il deprezzamento (per lavoratore) sugli investimenti (per lavoratore) il capitale (per lavoratore) diminuisce

Se invece si realizza l’uguaglianza tra investimenti e deprezzamento:

Si perviene ad una situazione di equilibrio di lungo periodo che prende il nome di stato stazionario dell’economia, in cui il prodotto per lavoratore ed il capitale per lavoratore sono costanti, cioè:

Lo stato stazionario è caratterizzato da valori dati (d) di capitale (K) e Reddito/Produzione (Y).

L’intersezione della retta del deprezzamento δK_t/L con la curva gli investimenti sF(K_t/L), comporta, per quanto detto, il livello di stato stazionario, da ricercare sul corrispondente punto (per ascissa) della curva della produzione F(K_t/L).

A questo punto possiamo trarre le conclusioni che ci interessano:

• in virtù dello stato stazionario, il risparmio della popolazione non ha nessun effetto sul tasso di crescita di lungo periodo dell’economia (cioè della produzione per occupato), pari a zero, ma il risparmio determina comunque il livello della produzione per occupato, ovvero la quantità e non il tasso di crescita della produzione, prima di arrivare allo stato stazionario
• per quanto sopra, il tasso di risparmio porta comunque alla crescita della produzione (per occupato), ma per un tempo determinato, finché non sopraggiunge lo stato stazionario e quindi, nel nostro grafico, si alzerebbe la curva degli investimenti sF(K_t/L) determinando un più elevato livello di produzione per occupato di stato stazionario
• viceversa, un aumento del deprezzamento δK_t/L determina un minor livello di produzione per occupato di stato stazionario, in quanto la retta δK_t/L del grafico aumenterebbe la pendenza ruotando verso l’alto a sinistra (il contrario se il deprezzamento diminuisce)
• in sostanza l’aumento (per investimenti) del capitale a disposizione di ciascun lavoratore aumenta il prodotto per lavoratore e quindi genera la crescita, ma non per sempre, perché poi sopraggiunge lo stato stazionario
• quindi fanno bene gli stati nazionali ad investire ed a creare le condizioni per gli investimenti privati (utilizzando a tal fine gli strumenti di bilancio pubblico, come ad es. le imposte), ma la crescita non è per sempre, non è possibile sostenere la crescita all’infinito
• anche per questa via ci rendiamo conto che non si può fare a meno del progresso tecnologico