Statistica: corso on line

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Indici di dimensione (medie)

Molto importanti per esprimere sinteticamente un fenomeno osservato sono gli indici di dimensione (detti anche misure di tendenza centrale), oppure – come sono più comunemente note – le Medie.

Le medie si distinguono a seconda se esse debbono esprimere un valore sintetico (un indice di dimensione appunto) con riferimento a variabili nominali, ordinali o cardinali.

Le variabili nominali sono grandezze qualitative (non quantitative), che non hanno un ordine e che non sono quantificabili: ad es. uomo/donna oppure coniugato/celibe/divorziato/vedovo. Esse possono essere solamente uguali o diverse tra di loro.

Le variabili ordinali sono ordinabili da un valore più piccolo ad uno più grande, ma non sono quantità numeriche con le quali effettuare operazioni tra di loro: ad es., con riguardo al titolo di studio, nessun diploma/elementare/medie/superiori/Laurea. Esse possono quindi essere messe in ordine ma non è possibile determinare la distanza tra di loro, vale solo il maggiore o minore di ciascuna rispetto alle altre.

Le variabili cardinali sono grandezze numeriche con le quali è possibile fare tutte le operazioni di confronto che si vuole: ad es. il numero di abitanti delle diverse regioni o i voti presi dai partiti politici (15%, 25%, 2%, …).

 

Ecco dunque le medie (indici di dimensione) distinte per tipo di variabile: nominale, ordinale e cardinale.


Per le variabili nominali abbiamo la seguente media.

Moda

Mo = La modalità (o le modalità) con frequenza maggiore


Per le variabili ordinali si possono invece utilizzare le seguenti medie.

Mediana

Me = Il valore centrale della serie, da calcolare dopo aver messo in ordine crescente tutti i valori

N = numero dei casi

Se N è dispari si ha una sola mediana.

Se N è pari se ne hanno 2.

Nel caso di variabili cardinali la mediana è la media dei 2 valori centrali, cioè quelli posizionati in graduatoria a: N/2 e (N/2 + 1).

 

Quantili

Q(x) = I valori situati ad una certa posizione, da calcolare dopo aver messo in ordine crescente tutti i valori

Terzili: Q1, Q2

Quartili: Q1, Q2=(mediana), Q3

Decili: Q1, Q2, … Q9

 


Per le variabili cardinali le medie da utilizzare per le statistiche sono le seguenti, a cominciare dalla più famosa.

Media aritmetica

xi = valori osservati

N = numero dei valori osservati

 

Media aritmetica ponderata

fi = frequenza

È la Media ponderata con le frequenze (o con eventuali pesi/punteggi).

Se le frequenze sono raggruppate in classi si prendono i valori centrali delle classi.

Tutte le medie che vedremo di seguito possono essere calcolate, all’occorrenza, come medie ponderate.

 

Media quadratica

È una particolare media da utilizzare nei casi in cui i valori osservati assumono maggior rilevanza se quantificati al quadrato, anziché così come sono rilevati.

 

Media armonica

È una particolare media da utilizzare nei casi in cui i valori osservati assumono maggior rilevanza se quantificati come reciproci di se stessi, anziché così come sono rilevati.

 

Media geometrica

È una particolare media da utilizzare nei casi in cui i valori osservati assumono maggior rilevanza se moltiplicati tra di loro, anziché addizionati come nelle normali medie di tipo aritmetico.

 

Formula generale per tutte le medie

In cui se poniamo …

… r = 1: Media aritmetica

… r = 2: Media quadratica

… r = –1: Media armonica

… r → 0: Media geometrica

Autore: Steve Round

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