Tre esempi di quanto la matematica possa essere interessante

Quanti compleanni lo stesso giorno!

Qualche giorno fa sono andato ad aiutare un mio amico intento a creare un elenco, composto dai nomi e dalle informazioni di un centinaio circa di persone, al fine di rendere più semplice la ricerca dei dati anagrafici dei suoi clienti (il mio amico ha un’agenzia di spedizione).

Aveva appena inserito nella lista i primi 30 nomi quando gli ho chiesto a bruciapelo: vuoi scommettere che fra quelle 30 persone ce ne sono almeno due che festeggiano il loro compleanno lo stesso giorno?

Di fronte alla mia domanda provocatoria,  il mio amico ha reagito guardandomi molto incuriosito: sapeva che non potevo conoscere i nomi dei 30 soci da lui sistemati mentre io non c’ero.

Ci ha pensato su un attimo, nel quale immagino abbia valutato il fatto che per avere la sicurezza matematica di quanto affermato occorrono esattamente 367 soci (considerando anche un eventuale compleanno in occasione del 29 febbraio) e quindi, essendo 30 molto più piccolo di 367 e ritenendo pertanto minima la probabilità di avere due compleanni alla stessa data, ha deciso di accettare la scommessa.

Ero quasi sicuro di vincere la scommessa ed infatti mi sono aggiudicato facilmente il premio in palio.

Questo perché  so che esiste una probabilità del 70% di avere almeno due persone con lo stesso compleanno in un gruppo di 30 persone. Probabilità che cresce addirittura al 99% con appena 58 individui: in pratica quasi la certezza, da un punto di vista statistico.

Per curiosità fornisco un elenco di valori riguardanti la probabilità statistica che fra “n” soggetti scelti a caso almeno 2 abbiano il medesimo compleanno (giorno e mese).

E ancora più sorprendentemente sono sufficienti 200 persone affinché due di loro siano nate, non solo lo stesso giorno, ma anche lo stesso anno, e ciò con una probabilità superiore al 50%.

Questi calcoli costituiscono una classica trappola di ragionamento, perché si tratta di valori cosiddetti di statistica “controintuitiva”, che vanno cioè decisamente contro il normale senso comune. Tuttavia sono assolutamente veri e soprattutto dimostrabili matematicamente.

La dimostrazione è anche molto semplice e conviene svilupparla cercando la probabilità contraria, cioè la probabilità che le persone di un gruppo poniamo di 25 individui festeggino tutte il proprio compleanno in un giorno diverso da quello degli altri membri del gruppo.

Se la prima persona è nata in una certa data, la seconda ha 364/365 possibilità (perché un giorno dell’anno è “occupato” dal primo), la terza ne ha 363/365 (ne sono occupati 2), fino ad arrivare alla venticinquesima, che ha 341/365 possibilità. Per la teoria delle probabilità composte, la probabilità totale di tutto il gruppo è pari al prodotto delle probabilità di ciascuno (364/365 x 363/365 x … x 341/365), cioè 43,13%.

Quindi la probabilità inversa che ci interessa è uguale a (100% – 43,13%) = 56,87%.

Il gioco dei pacchi

Conosciamo tutti il gioco dei pacchi che la Rai trasmette da anni con successo in fascia preserale.

Il meccanismo è semplice: il concorrente di turno ha nelle mani un pacco di cui ignora il contenuto, così come ignora il preciso contenuto di tutti gli altri pacchi intorno a lui. Conosce solo l’elenco degli oggetti contenuti, ma non sa dove questi si trovano esattamente.

I pacchi vengono poi aperti uno alla volta, rivelando quindi il loro contenuto, ed il concorrente ha, nel corso del gioco, diverse occasioni per decidere se cambiare il proprio pacco (di cui alla fine si approprierà del contenuto) o accettare una somma di denaro, ovviamente di valore inferiore ai premi ancora in palio.

Un’interessante domanda di matematica potrebbe essere la seguente: al concorrente conviene cambiare il pacco, quando ne ha la possibilità, oppure no?

La risposta che ci dà la matematica è sorprendente: la scelta di cambiare il pacco addirittura raddoppia la probabilità di vincere un premio elevato!

La dimostrazione di questo calcolo controintuitivo è abbastanza complessa. In linea generale essa si basa sulla distinzione tra probabilità a priori e probabilità a posteriori. E’ chiaro che a priori tutti i pacchi hanno la stessa possibilità di contenere un determinato premio, ma tale possibilità varia nel corso del gioco (a posteriori) in virtù delle informazioni che man mano si rendono disponibili con l’apertura dei pacchi.

Tuttavia, nonostante la spiegazione enunciata non convinca il buon senso, i matematici sono sicuri: cambiare il pacco è sempre la strategia vincente.

Raggiungere l’Everest piegando un foglio di carta

Se prendiamo un foglio di carta e lo pieghiamo esattamente a metà, dimezzandone quindi la superficie e facendo combaciare le estremità, di quanto aumenta il suo spessore?

La risposta è semplice: se ipotizziamo che lo spessore del pezzo di carta sia, per semplicità, di un millimetro, la piegatura a metà fa aumentare di un altro millimetro lo spessore totale del foglio, che quindi diventa alto complessivamente 2 millimetri.

Ma se immaginiamo di continuare a piegare il foglio per più volte, sempre esattamente a metà, quante volte dovremo piegarlo per raggiungere uno spessore del foglio pari agli 8.000 metri dell’Everest?

Certo, non riusciamo materialmente a fare su di un pezzo di carta più di 4 o 5 piegature, ma se fantastichiamo su un foglio molto grande, in grado cioè di essere piegato molte volte, quante piegature ci vogliono per raggiungere la vetta più alta del pianeta?

Ebbene, chi ha pensato a numeri del tipo 2 milioni o anche solo 300.000 ha sbagliato, ed anche di parecchio.

Sono sufficienti appena 23 piegature per ritrovarsi con un foglio di carta alto quasi quanto l’Everest! Sì, avete capito bene: bisogna piegare un foglio spesso un millimetro solo 23 volte per salire sul tetto del mondo a 8.389 metri (per essere precisi l’Everest è un po’ più elevato, 8.848 mt.).

Infatti, ogni volta che pieghiamo a metà il foglio e ne raddoppiamo lo spessore è come se eleviamo a potenza la quantità 2, dove la grandezza della potenza è data appunto dal numero di piegature. Si ha pertanto che 2²³/1.000 è uguale a 8.388,61 (la divisione per mille serve ad avere il valore in metri, anziché in millimetri).

In matematica questa curiosità costituisce un effetto dirompente della crescita numerica cosiddetta “esponenziale”.