Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Valutazione di un prestito - Nuda proprietà ed Usufrutto

Valutazione di un prestito con rimborso periodico degli interessi (nuda proprietà ed usufrutto)

Si tratta del prestito generico che abbiamo già visto parlando del caso generale dell’ammortamento, per il quale il rimborso avviene periodicamente mediante il versamento di una rata comprendente sia una quota-parte del capitale, sia gli interessi sul debito residuo a quel momento.

Di tale prestito vogliamo avere una valutazione al tasso i1 che è diverso da quello (pari a i) in base al quale si sono calcolate le quote di ammortamento.

Il tasso i prende il nome di tasso di obbligazione, mentre il tasso i1 si chiama tasso di valutazione o di rendimento del prestito.

In altre parole, una volta decisi gli impegni del debitore e quindi calcolato tutto il piano d’ammortamento, abbiamo la necessità di valutare il prestito sulla base di un altro tasso di interesse i1, per scopi diversi da quelli che ci hanno portato a sviluppare il piano d’ammortamento al tasso i.

 

E’ il caso ad esempio della “cessione del prestito”, ovvero la vendita ad un terzo, da parte del creditore, dei diritti di credito scaturenti dal prestito concesso al debitore (cioè del diritto di riscuotere periodicamente le rate in scadenza), il quale terzo pagherà però un prezzo di cessione da calcolare ad un tasso diverso da quello del prestito.

Infatti, se il prezzo di cessione (o valutazione) fosse calcolato allo stesso tasso i del prestito, allora il prezzo verrebbe a coincidere esattamente con il debito residuo al momento della cessione.

Premesso ciò, come si valuta un prestito al tasso i1 diverso da quello (pari a i) al quale si sono calcolate le rate dell’ammortamento?

Lo si fa attualizzando (appunto al tasso i1) gli impegni finanziari futuri del debitore, i quali, per comodità, si distinguono in 2 elementi: il valore (attuale) delle quote di capitale ancora da rimborsare ed il valore (attuale) dei restanti pagamenti  periodici degli interessi.

In particolare abbiamo:

  • la nuda proprietà, che è il valore ad un certo momento (s) delle quote di capitale ancora da rimborsare e che è data dalla formulaK(s) = valore attuale al momento (s) delle quote capitale rimaste da versare, il valore attuale di ognuna delle quali è dato dall’espressioneKs = Cs(1 + i1)-s
  • l’usufrutto, che è il valore attuale dei futuri pagamenti degli interessi e che si ricava dalla seguente formulaU(s) = valore attuale al momento (s) dei pagamenti di interessi al tasso i ancora da effettuare, il valore attuale di ognuno dei quali è dato dal seguente prodottoUs = Cs * i *as┐i1che è uguale, dopo aver sostituito Ks a Cs, all’espressione(i / i1) * (Cs – Ks)

Pertanto, sommando nuda proprietà ed usufrutto, il valore di cessione al momento (s) di un prestito progressivo calcolato al tasso i1 è (ove A(s) è il prezzo del prestito all’anno s):

A(s) = K(s) + [(i / i1) * (C(s) – K(s))]

oppure, più brevemente:

A(s) = K(s) + U(s)

in cui ciascun membro dell’espressione è la somma dei rispetti valori per ogni (s), cioè per ciascuna (s) è: As = Ks + [(i / i1) * (Cs – Ks)]

In particolare, se consideriamo tutte le (s) annualità, abbiamo l’equazione che segue:

A = K + [(i / i1) * (C – K)]

che si può scrivere anche così:

A = C – [(C – K) * (i1 – i)/ i1]

Dall’ultima espressione si deducono interessanti caratteristiche circa il valore del prestito:

  • innanzitutto in caso di i1=i consegue che A=C, come già noto, ovvero il valore del prestito coincide con la somma prestata
  • se i<i1 allora A<C ed in questo caso si dice che il prestito è emesso sotto la pari, perché il prezzo di vendita o di emissione (A) è inferiore al valore nominale del prestito (C), in conseguenza di un tasso di obbligazione inferiore a quello di valutazione o di rendimento
  • se i>i1 allora A>C ed in questo caso si dice che il prestito è emesso sopra la pari, perché il prezzo di vendita o di emissione (A) è maggiore del valore nominale del prestito (C), in conseguenza di un tasso di obbligazione superiore a quello di valutazione o di rendimento

Per concludere forniamo un altro modo di esprimere i valori della nuda proprietà (K) e di usufrutto (U), che sono molto più comodi nei calcoli:

per la nuda proprietà abbiamo

K = (i1*A – i*C) / (i1 – i)

mentre per l’usufrutto abbiamo

U = i * [(C – A) / (i1 – i)]

Valutazione di un prestito rimborsabile con rate costanti

Quanto detto al paragrafo precedente per il caso generale può essere ovviamente applicato anche al caso specifico dell’ammortamento francese, caratterizzato dalla notevole facilitazione delle rate costanti e pari a:

R = C / an┐i

In questa eventualità dell’ammortamento francese le formule principali di valutazione del prestito sono date dalle seguenti:

per il prezzo di emissione (A) abbiamo

A = R * an┐i1 = C * (an┐i1 / an┐i)

per la nuda proprietà (K) abbiamo

K = R * [(1+i)-n – (1+i1)-n] / (i1 – i)

Infine, per l’usufrutto (U) abbiamo

U = i * R * [an┐ian┐i1] / (i1 – i)

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

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    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

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  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

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    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

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  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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