Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Prestito diviso in obbligazioni (prestito obbligazionario)

Esiste la possibilità di frazionare il prestito in tanti piccoli “microprestiti”, così da destinare ciascuno di essi ad un creditore diverso. Questa modalità è realizzata mediante l’emissione di particolari titoli di credito (o strumenti finanziari) che prendono il nome di obbligazioni.

Il ricorso al “prestito obbligazionario” è la forma di finanziamento principale delle grandi società commerciali , le quali, attraverso l’emissione appunto di un prestito composto da un certo numero di obbligazioni, raccolgono presso una miriade di creditori (detti obbligazionisti) il capitale necessario al funzionamento dell’impresa ed alla esecuzione dei suoi investimenti (acquisto di impianti, macchinari, scorte, ecc…).

L’obbligazione è un titolo di credito fiduciario: chi lo possiede è un creditore dell’organizzazione che lo ha emesso e quindi ha diritto al rimborso del prestito concesso ed al pagamento periodico degli interessi (in genere con cadenza semestrale), calcolati, ad un certo tasso previamente stabilito, sul valore nominale dell’obbligazione.

 

Inoltre il “prezzo di emissione” dell’obbligazione dalla società emittente può non coincidere con il valore nominale della stessa o valore di rimborso, essendo in genere inferiore. Ciò in quanto un prezzo di emissione inferiore al valore nominale o di rimborso del titolo incentiva i creditori all’acquisto delle obbligazioni (e quindi al finanziamento della società emittente), rendendo di fatto il tasso di rendimento del prestito maggiore di quello al quale vengono pagati gli interessi. Nel caso in cui il prezzo di emissione è inferiore al valore nominale si dice che il titolo è emesso “sotto la pari”, altrimenti, in caso di coincidenza tra i 2 valori, si dice che c’è un’emissione “alla pari”.

Pertanto dei titoli obbligazionari che compongono il prestito obbligazionario dobbiamo conoscere i seguenti fondamentali elementi:

  • C, l’importo totale del prestito obbligazionario
  • N, il numero di titoli emessi
  • c, il valore nominale di ciascuna obbligazione (cioè il valore “facciale dei titoli, che corrisponde all’importo del loro rimborso), dato dal rapporto C/N
  • a, l’eventuale prezzo di emissione dei titoli qualora questo fosse inferiore al loro valore nominale (per rendere “appetibile” il prestito obbligazionario)
  • d, la durata del prestito
  • i, il tasso annuale al quale sono pagati gli interessi sul valore nominale
  • la periodicità degli interessi stessi (che, come detto, è in genere semestrale)
  • la cosiddetta cedola, ovvero l’importo degli interessi periodici, che non è altro che il prodotto del valore nominale del titolo per il tasso di interesse (nel caso di pagamento annuale: c * i)

Il metodo di rimborso delle obbligazioni è lasciato alla discrezionalità dell’organizzazione emittente e perciò questa può decidere sia di fissare una certa data di scadenza, valida per tutti i titoli in circolazione, al decorrere della quale la società rimborsa quindi il valore nominale complessivo dei titoli, sia di fare un piano d’ammortamento graduale degli stessi, cioè di rimborsarne un certo numero Ns al primo anno, al secondo, al terzo e così via.

In quest’ultimo caso, se il numero delle obbligazioni da rimborsare ogni anno è uguale a:

N1, N2, … Ns, … Nn

con   N1 + N2 + … + Ns + … + Nn = N

e   C = N * c

allora le quote d’ammortamento annuali saranno pari a:

N1c, N2c, … Nsc, … Nnc

le quali possono anche essere (ed in genere lo sono) tutte costanti.

Per esempio con un prestito complessivo di un milione di euro, diviso in mille titoli da euro 1.000 ciascuno, rimborsabile in 5 anni, avremo:

N1 = N2 = N3 = N4 = N5 = 200

di valore pari ad euro 200.000 ciascuna, cioè ogni anno saranno rimborsate 200 mila euro di obbligazioni.

Generalmente la decisione di quali obbligazioni rimborsare ciascun anno tra le N in circolazione è presa mediante estrazione a sorte.

Per concludere un cenno ad alcuni aspetti più di economia finanziaria che di matematica finanziaria.

Quanto abbiamo finora detto vale per le obbligazioni appena emesse, che sono sottoscritte dai creditori e per le quali questi ultimi aspettano la naturale scadenza.

Però è bene sapere che prima della scadenza le obbligazioni, essendo degli strumenti finanziari, possono essere venduti a terzi, perché come molti altri titoli di credito di massa essi possono avere un loro mercato (di cui il più famoso è la Borsa).

Nel caso si abbiano delle compravendite dei titoli obbligazionari esisterà un altro valore, detto corso o quotazione o valore di mercato, al quale la transazione si perfeziona e che rappresenta quindi il prezzo di vendita dell’obbligazione in questione dopo l’emissione.

La quotazione tende ad essere vicina al prezzo di emissione ed al valore nominale nei 2 momenti iniziali e finali della vita del titolo obbligazionario, cioè rispettivamente al momento dell’emissione ed a quello di rimborso.

Se il titolo obbligazionario è venduto tenendo conto della cedola di interessi che sta maturando, allora il corso è detto tel quel.

Se, invece, non se ne tiene conto, allora il prezzo di mercato è detto secco. Se, infine, il titolo è provo della cedola in corso di maturazione, la quotazione è detta ex cedola.

Per il resto vale quanto precedentemente detto per i titoli appena emessi da parte della società debitrice, con l’unica accortezza di sostituire alla parole “prezzo di emissione” le parole “prezzo di mercato”, compresa la possibilità di avere un acquisto sul mercato di obbligazioni sotto la pari (che permetterebbe, pure in questo caso, un rendimento maggiore del semplice tasso di interesse al quale viene pagata la cedola.

Sul mercato è possibile anche un acquisto sopra la pari, cioè maggiore del valore nominale o di rimborso, che è conveniente quando, ad esempio, la cedola è pagata ad un tasso di interesse particolarmente vantaggioso, oppure perché si è sicuri di un futuro rialzo della quotazione, che consentirebbe di vendere i titoli e lucrare sulla differenza tra i 2 corsi (dei due momenti di acquisto e vendita).

 

Probabilità di rimborso e vita media di un’obbligazione

Nel caso l’ammortamento del prestito obbligazionario preveda come modalità di rimborso l’estrazione a sorte di un certo numero di titoli ogni anno, può essere interessante calcolare la probabilità che un’obbligazione qualunque (delle N emesse) ha di essere rimborsata alla fine dell’s-simo anno, con s = 1, 2, 3, …, n.

All’emissione dei titoli la probabilità di rimborso, cioè la probabilità che uno qualunque dei titoli emessi sia rimborsato alla fine dell’anno s, è data, per ogni anno di vita del prestito, dalle seguenti formule:

p1 = N1/N

p2 = N2/N

Ps = Ns/N

pn = Nn/N

Può anche essere interessante valutare, sempre al momento dell’emissione, la vita media di un titolo obbligazionario qualunque:

vm = (N1 + 2N2 + … + sNs + … + nNn) / N

che si può scrivere anche:

vm = (N+ N(1) + N(2) + … + N(s) + … + N(n-1)) / N

in cui vale la convenzione che:

N(s) = Ns+1 + Ns+2 + … + Nn

Quanto detto finora si riferisce, come avvertito, a titoli appena emessi. Se vogliamo calcolare gli stessi parametri (probabilità di rimborso e vita media) di titoli qualunque alla fine di un anno s qualunque, le formule sopra riportate si trasformano nelle seguenti:

per la probabilità di rimborso

p1 = Ns+1/N(s)

p2 = Ns+2/N(s)

pn = Nn/N(s)

e, per la vita media

vm = (N(s)+ N(s+1) + … + N(n-1)) / N(s)

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

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    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

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  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

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    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

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  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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