Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Valutazione di un prestito obbligazionario - Nuda proprietà ed Usufrutto

Valutazione di prestito obbligazionario nel caso generale (nuda proprietà e usufrutto)

Diciamo subito che la valutazione di un prestito obbligazionario ha senso solo nel caso di sua emissione sotto la pari (a < c), perché altrimenti il tasso di investimento del capitale coincide con il tasso i di interesse periodico (cedola) delle obbligazioni.

Quindi solo nell’eventualità di un prestito sotto la pari ha senso ricercare il suo tasso di valutazione, chiamiamolo i1, differente da i.

 

Per quanto detto nelle pagine degli ammortamenti dei prestiti indivisi, abbiamo che esiste la seguente equazione dei valori in gioco:

A = K + [(i / i1) * (C – K)]

con C = al valore di rimborso ed A = al prezzo di emissione dell’intero prestito, valendo quindi la relazione:

A = N * a

ed in cui la nuda proprietà e l’usufrutto sono dati rispettivamente da:

K = N1c(1+i1)-1 + N2c(1+i1)-2 + … + Nnc(1+i1)-n

U = [(i / i1) * (C – K)]

Le suddette formule permettono di determinare il tasso di valutazione del prestito i1 quando si conoscono gli altri termini del problema.

Ricordiamo anche che è:

A<=>C   e quindi   a<=>c

a seconda che sia i<=>i1

Precisiamo anche che il tasso di valutazione i1 costituisce il tasso di rendimento per tutti gli investitori dell’intero prestito, presi quindi come una collettività, ma non lo è più se consideriamo il singolo investitore o il singolo titolo del prestito, perché il rendimento di quest’ultimo dipende, a rigor di logica, dall’anno in cui verrà rimborsato.

Possiamo però considerare i1 come il tasso effettivo medio di rendimento della somma a, cioè del capitale investito nel singolo titolo (corrispondente al prezzo di emissione).

Infine, se vogliamo avere le formule della nuda proprietà e dell’usufrutto riferite alla singola obbligazione, è sufficiente dividere quelle viste sopra riguardanti l’intero prestito per il valore N (numero di titoli emessi).

 

Inoltre, se il riferimento è ai singoli titoli e non all’intero prestito, abbiamo anche le seguenti ulteriori equazioni, utili per calcolare la nuda proprietà e l’usufrutto quando si conoscono gli altri termini delle uguaglianze (valide in tutti i casi in cui è i1 ≠i):

per la nuda proprietà

k = (i1*a – i*c) / (i1 – i)

mentre per l’usufrutto

u = i * [(c – a) / (i1 – i)]

Valutazione di un prestito obbligazionario con annualità o quote d’ammortamento costanti

Le valutazioni di prestiti con le annualità o le singole quote d’ammortamento costanti sono casi particolari del caso generale visto in precedenza, così come l’ammortamento francese o quello tedesco lo sono rispetto al caso generale dell’ammortamento con quote progressive.

1)      cominciamo con il caso del prestito obbligazionario con annualità costanti

Prezzo di emissione dell’intero prestito:

A = [(N*c) / an┐i] * an┐i1

Nuda proprietà alla data di emissione dell’intero prestito (per i1 ≠i):

K = [(N*c) / an┐i] * {[(1+i)-n – (1+i1)-n] / (i1 – i)}

Usufrutto alla data di emissione dell’intero prestito:

U = [(N*c) / an┐i] * i * [(an┐ian┐i1) / (i1 – i)]

I valori relativi ad una sola obbligazione si ottengono da questi dividendoli per il numero N di titoli obbligazionari emessi.

Invece, il prezzo di emissione di una sola obbligazione è:

a = c * (an┐i1 / an┐i)

2)      nel caso del prestito obbligazionario con quote d’ammortamento costanti

Prezzo di emissione dell’intero prestito:

A = N * c * {1 – [(i1 – i) / i1] * [1 – (an┐i1 / n)]}

Nuda proprietà alla data di emissione dell’intero prestito:

K = N * c * (an┐i1 / n)

Usufrutto alla data di emissione dell’intero prestito:

U = [(i / i1) * N] – c * [1 – (an┐i1 / n)]

I valori relativi ad una sola obbligazione si ottengono da questi dividendoli per il numero N di titoli obbligazionari emessi.

Invece, il prezzo di emissione di una sola obbligazione è:

a = c * {1 – [(i1 – i) / i1] * [1 – (an┐i1 / n)]}

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

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    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

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  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

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    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

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  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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