Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Regime dell’interesse semplice (e dello sconto razionale)

In questo regime finanziario gli interessi sono direttamente proporzionali al capitale ed al tempo di investimento: proprio per tale caratteristica si dice che il regime dell’interesse semplice è una funzione lineare del tempo.

In particolare la formula per calcolare l’interesse è la seguente:

I = C i t

e pertanto la formula per calcolare il montante (sapendo che M = C + I) è:

M = C + I = C + C t i = C (1 + i t), ovvero

M = C (1 + i t)

Ricordiamo che i è il tasso non in percentuale (per es. 0,035 per dire il 3,5%) e t è il tempo in anni (altrimenti nel calcolo dobbiamo inserire m/12 per i mesi e g/365 per i giorni). A tale proposito è fondamentale sapere che i e t si devono riferire sempre ambedue allo stesso periodo: quindi se t è in anni, i deve essere il tasso annuo (non in percentuale).

 

E’ importante anche memorizzare, più che la formula degli interessi, quella per il montante (perché nel regime dell’interesse composto si lavora soprattutto con quest’ultima) e quindi, nel caso specifico di un capitale unitario (dove C = 1), abbiamo:

r = 1 + i t

dove r è il fattore di capitalizzazione (o di montante), che, vedremo, è importantissimo in matematica finanziaria.


ESEMPIO

Trovare il montante e gli interessi dell’investimento del capitale di euro 1.500 per 60 giorni al tasso di interesse annuo del 5%.

M = 1.500 x (1 + 60/365 x 0,05) = 1.512,33 e pertanto gli interessi saranno:

I = 1.500 x 60/365 x 0,05 = 12,33 cioè

(montante) 1.512,33 – (capitale) 1.500 = (interessi) 12,33


Finora abbiamo visto le formule dell’interesse semplice nei casi di investimento di un certo capitale C ad un certo tasso annuo i e per un certo tempo t in anni.

Ma queste stesse regole dell’interesse semplice possono essere utilizzate anche per attualizzare e scontare una certa somma a scadenza S, anziché capitalizzare e calcolare l’interesse su un capitale C, come abbiamo visto precedentemente.

Infatti possiamo avere anche il problema contrario, cioè sapere di poter disporre di una somma ad una certa scadenza futura S e voler calcolare quanto questa somma valga oggi V: quindi andare indietro nel tempo (attualizzare) e non avanti come nella capitalizzazione. Vogliamo cioè effettuare operazioni si attualizzazione e di sconto, in cui la differenza tra la somma a scadenza ed il suo valore attuale è detta sconto D (quindi MS = D).

Alle formule dello sconto ci si arriva facilmente se si pensa che dall’uguaglianza:

M = C (1 + i t) deriva molto banalmente che

C = M / (1 + i t)  e quindi basta sostituire al capitale il valore attuale V ed al montante la somma a scadenza S per avere la formula del valore attuale

V = S / (1 + i t)

Nel regime dell’interesse semplice abbiamo pertanto:

V = S / (1 + i t)

che ci dice direttamente il valore attuale della somma a scadenza, senza passare per lo sconto. Questa formula è anche detta dello sconto razionale.

Per conoscere l’entità dello sconto D abbiamo invece (sapendo che D = S V):

D = (S i t) / (1 + i t)

Anche qui, nelle operazioni di attualizzazione, è bene memorizzare l’equazione in caso di somma a scadenza pari a 1 (S = 1):

v = 1 / (1 + i t)

dove v è il fattore di attualizzazione (o di sconto), che, vedremo, è importantissimo in matematica finanziaria.

 

La cosa si complica un pochino se invece del tasso di interesse annuo i abbiamo il tasso di sconto annuo d. Ma niente paura, basta ricordare le seguenti fondamentali uguaglianze tra tasso di interesse e di sconto:

i = d / (1 – d)

d = i / (1 + i)

Ed allora le formule di attualizzazione e di calcolo dello sconto razionale viste in precedenza si trasformano, per effetto della semplice sostituzione di i con d,  nelle seguenti:

D = (S d t) / (1 – d + d t)

V = [S (1 – d)] / (1 – d + d t)

ovvero lo sconto razionale usando d al posto di i.

Mentre con d il tasso di attualizzazione v diventa:

v = (1 – d) / (1 – d + d t)


ESEMPIO

Trovare il valore attuale e lo sconto di una somma di euro 2.000 disponibile fra 30 giorni al tasso di interesse annuo del 5% ed al tasso di sconto annuo del 4,76%.

V = 2.000 / (1 + 0,05 x 30/365) = 1.991,81

D = (2.000 x 0,05 x 30/365) / (1 + 0,05 x 30/365) = 8,19 cioè

(somma a scadenza) 2.000 – (valore attuale) 1.991,81 = 8,19

Se ragioniamo con il tasso di sconto annuo:

V = [2.000 (1 – 0,0476)] / (1 – 0,0476 + 0,0476 x 30/365) = 1.991,81

D = (2.000 x 0,0476 x 30/365) / (1 – 0,0476 + 0,0476 x 30/365) = 8,19

Cioè gli stessi valori trovati prima con il tasso di interesse i, perché in questo caso tra i e d c’è la corrispondenza vista sopra:

d = i / (1 + i) = 0,0476 = 0,05 / (1 + 0,05)


Autore: Steve Round

Condividi questo articolo su

16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

    Rispondi al Commento
  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

    Rispondi al Commento
    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

    Rispondi al Commento
  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

    Rispondi al Commento
  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

    Rispondi al Commento
  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

    Rispondi al Commento
  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

    Rispondi al Commento
  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

    Rispondi al Commento
  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

    Rispondi al Commento
  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

    Rispondi al Commento

Invia commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.