Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Regime dello sconto commerciale

Il regime dello sconto commerciale è nato dalla banale usanza dei mercanti medievali di applicare direttamente, nelle operazioni di sconto, la formula con il tasso di sconto d (come se fosse il tasso di interesse i ), cioè:

S d t

senza passare per il tasso di interesse e lo sconto razionale (vigente nel regime di capitalizzazione semplice).

Era ovviamente una grossa semplificazione nei calcoli, però, da un punto di vista matematico, non è la stessa cosa (perché i 2 tassi, di sconto e di interesse, non sono equivalenti nella formula) e di fatto quindi i mercanti dell’epoca hanno creato un altro regime, diverso da quello dell’interesse semplice, detto appunto “commerciale” perché usato nei calcoli dei commerci.

 

Pertanto abbiamo che lo sconto in questo regime commerciale è uguale a:

D = S d t

Di conseguenza la formula del valore attuale è (sempre ricordando che V = Sd):

V = S (1 – d t)

Quindi il fattore di attualizzazione v per questo regime è:

v = 1 – d t

Vista l’origine storica di questo regime commerciale – sostanzialmente riconducibile ad una semplificazione nei calcoli – è facile capire come mai sono scarsamente usate, e risultano ai più anche sconosciute, le corrispondenti formule di capitalizzazione.

Esclusivamente per fini didattici ne diamo comunque una quantificazione.

La capitalizzazione è:

M = C (1 + i) / (1 + i – i t)

Mentre la formula dell’interesse è:

I = (C i t) / (1 + i – i t)

Per concludere il fattore di capitalizzazione r è:

r = (1 + i) / (1 + i – i t)

Le operazioni di attualizzazione in funzione di i anziché di d non sono scarsamente usate: sono proprio inutili ghirigori matematici. Tuttavia forniamo anche queste.

Il valore attuale è dato dalla seguente formula:

V = S {1 – t [i / (1 + i)]}

Lo sconto commerciale è uguale a:

D = S t [i / (1 + i)]

Prima di passare a qualche esempio un’importante precisazione.

 

Attenzione quando utilizziamo le formule dello sconto commerciale, perché, a causa della forma a parabola di questa funzione matematica, possono risultare delle anomalie man mano che il tempo si avvicina a:

t = 1 / d

oppure, se usiamo nei calcoli il tasso di interesse annuo i, man mano che il tempo si avvicina a:

t = (1 + i) / i

Infatti per i suddetti valori del tempo t abbiamo che:

  • nella capitalizzazione, più ci si avvicina al tempo limite t = (1 + 1) / i  e più i valori assumono grandezze estreme, tendendo all’infinito (a causa della funzione che in questo punto dell’arco temporale ha una discontinuità)
  • nell’attualizzazione, più ci si avvicina al tempo limite t = 1 / d  e più i valori tendono a zero, fino ad annullarsi proprio in questo punto (per poi assumere segno negativo!)

ESEMPIO 1

Trovare il valore attuale di una somma di euro 2.000 disponibile fra 30 giorni al tasso di sconto annuo del 5%.

V = 2.000 x (1 – 0,05 x 30/365) = 1.991,78


ESEMPIO 2

Trovare il montante dell’investimento del capitale di euro 1.500 per 60 giorni al tasso di interesse annuo del 5%.

M = [1.500 x (1 + 0,05)] / (1 + 0,05 – 0,05 x 60/365) = 1.511,83


Autore: Steve Round

Condividi questo articolo su

16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

    Rispondi al Commento
  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

    Rispondi al Commento
    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

    Rispondi al Commento
  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

    Rispondi al Commento
  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

    Rispondi al Commento
  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

    Rispondi al Commento
  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

    Rispondi al Commento
  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

    Rispondi al Commento
  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

    Rispondi al Commento
  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

    Rispondi al Commento

Invia commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.