Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Regime dell’interesse composto

Il regime dell’interesse composto è il più interessante ed anche il più utilizzato. Per es. è quello sul quale le banche costruiscono i piani d’ammortamento dei loro mutui.

Il motivo di questo successo, sia sul piano teorico, sia sul piano pratico delle esigenze concrete di chi capitalizza o attualizza, è molto probabilmente da ricercarsi in una caratteristica fondamentale posseduta da questo regime: la scindibilità.

Il regime dell’interesse composto ha infatti l’importante proprietà di essere scindibile, ovvero, dato un tempo che va da “a” a “c”, di cui “b” è un tempo intermedio, di verificare sempre questa uguaglianza, riferita a qualsiasi capitale C e tasso i:

M(c – a) = M(b – a) x r(c – b)

E ovviamente lo stesso vale per l’attualizzazione.

 

In altre parole il montante ad un certo tasso i di un capitale C per il tempo “b – a”, ricapitalizzato per il tempo “c – b”, dà lo stesso valore che si otterrebbe calcolando subito il montante per il tempo “c – a”.

Questa, che sembra una proprietà superflua, è invece di straordinaria importanza nella matematica finanziaria, ma anche nei calcoli pratici.

Vediamo ora le formule dell’interesse composto.

Cominciamo dalla formula della capitalizzazione, perché se per altri regimi si poteva iniziare dalla formula degli interessi I, ora è preferibile comprendere e memorizzare prima di tutto la formula di M, che è:

M = C (1 + i)t

da questa si ricava quella degli interessi I, che è molto semplicemente la stessa meno C, cioè:

I = C [(1 + i)t – 1]

Il fattore di capitalizzazione r è quindi:

r = (1 + i)t

Ricordando che se M = C r , allora C = M / r , e pertanto, sostituendo opportunamente M con S e C con V, abbiamo:

V = S / (1 + i)t

ed anche:

D = S {1 – [1 / (1 + i)t] }

In cui il fattore di attualizzazione v è, anche in questo regime, il reciproco di r, ovvero:

v = 1 / (1 + i)t

Anche se non sono molto usate nell’ambito dell’interesse composto, forniamo pure le formule di attualizzazione con il tasso di sconto d al posto di quello di interesse i.

Eccole. Per l’attualizzazione:

V = S (1 – d)t

E per lo sconto:

D = S [1 – (1 – d)t]


ESEMPIO 1

Calcolare il montante di un capitale di 2.500 euro capitalizzato in regime composto per 5 mesi al tasso di interesse annuo del 15%.

2.500 x (1 + 0,15)5/12 = 2.649,91


ESEMPIO 2

Calcolare il valore attuale di un capitale di euro 2.649,91 in regime composto per 5 mesi al tasso di sconto annuo del 13,04348%

2.649,91 x (1 – 0,1304348)5/12 = 2.500

Ritorna il capitale dell’esempio 1 e questo sempre perché negli esempi si sono utilizzati tassi di interesse i e di sconto d tra loro equivalenti in quanto rispondenti alla relazione d = i / (1 + i )


Tassi equivalenti

Soprattutto nel regime dell’interesse composto ha molta importanza il concetto di tasso equivalente, intendendo per esso quel tasso im , riferito ad un periodo temporale diverso dall’anno m (per es. al mese), che corrisponde finanziariamente al tasso dell’anno (l’ormai noto i).

 

Possiamo rappresentare l’equivalenza finanziaria dei tassi di interesse con l’equazione:

1 + i = (1 + im)m

oppure

i = (1 + im)m – 1

oppure

im = (1 + i)1/m – 1

dove im è il tasso di interesse riferito al periodo infrannuale m.

Pertanto: m = 12, significa tasso mensile; m = 3 tasso quadrimestrale; m = 4, tasso trimestrale; m = 2, tasso semestrale ed infine m = 1, tasso annuale, cioè i = i1.

Le suddette uguaglianze non dicono altro che, stante la scindibilità del regime, per avere il montante di un capitale pari ad 1 (1 + i = r), bisogna applicare la capitalizzazione al tasso periodico m (per esempio al tasso mensile i12) per il numero dei periodi m compresi nell’anno (m =12 nell’esempio).

Quindi, sempre nello stesso esempio, con m = 12 e, di conseguenza, i12 espressivo del tasso di interesse mensile, abbiamo che:

1 + i = (1 + i12)12

Che è semplice da capire perché vuol dire semplicemente che capitalizzando per 12 mesi al tasso mensile, viene fuori il montante della capitalizzazione annuale al tasso annuale.

Le cose si complicano un po’ di più per il fatto che esiste nella pratica commerciale un altro tipo di tasso di interesse jm, chiamato nominale, che si affianca al tasso i visto finora, che prende di conseguenza il nome di effettivo.

Quest’ulteriore versione di tasso, il tasso nominale, di cui non si sentiva certo la mancanza, è nato dalla pratica di molte banche di dichiarare al cliente prenditore di prestiti, anziché il tasso effettivo più alto, quello nominale, che fa sembrare (appunto nominalmente) il costo del finanziamento più basso di quanto lo sia in realtà (perché comunque il tasso di interesse su cui esso è calcolato è sempre quello effettivo). Fortunatamente adesso le banche devono, per obbligo di legge, dichiarare, accanto a quello nominale, il tasso di interesse effettivo del prestito proposto.

Il tasso di interesse nominale non è altro che il prodotto del tasso periodico im con m, cioè:

jm = im x m

in cui la formula inversa, per il calcolo di im dato jm, è:

im = jm / m

A questo punto vediamo anche le relazioni tra jm e i annuo:

1 + i = (1 + jm/m)m

oppure

jm = m [(1 + i)1/m – 1]

oppure

i = (1 + jm/m)m – 1

Quest’ultima relazione di uguaglianza è importantissima perché permette di calcolare il tasso di interesse effettivo quando si è a conoscenza del tasso nominale.


ESEMPIO

La banca ci darà un prestito al 10% di interesse nominale annuo, con rata di rimborso mensile. Quanto ci costerà effettivamente il credito concesso dalla banca?

(1 + 0,10/12)12 – 1 = 0,1047 = 10,47%


Autore: Steve Round

Condividi questo articolo su

16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

    Rispondi al Commento
  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

    Rispondi al Commento
    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

    Rispondi al Commento
  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

    Rispondi al Commento
  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

    Rispondi al Commento
  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

    Rispondi al Commento
  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

    Rispondi al Commento
  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

    Rispondi al Commento
  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

    Rispondi al Commento
  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

    Rispondi al Commento

Invia commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.