Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Rendite certe a rata costante

Una situazione frequente che ci si può trovare davanti è quella dove il pagamento (o l’incasso) di una certa somma di denaro non è una tantum ad una certa scadenza, ma periodico a determinate scadenze, per es. annuali.

Cioè si potrebbe avere la necessità di calcolare il valore attuale non di un singolo pagamento, ma di più pagamenti, tutti di uguale importo, cadenzati per es. alla fine di ciascun anno per un certo numero di anni. Oppure, nella stessa situazione, abbiamo la necessità di sapere l’importo della rata periodica conoscendo il valore attuale (ad oggi) di quella sfilza di pagamenti tutti uguali (rappresentati appunto dalla rata periodica costante).

In questi casi ci troviamo di fronte ad una rendita e non si tratta di casi di scuola, difficilmente verificabili nella realtà, perché quasi tutti i prestiti con rimborso rateale che si stipulano nel mondo bancario e finanziario (per es. i mutui), o comunque quasi tutti i finanziamenti aventi un piano d’ammortamento per il rimborso del capitale erogato, corrispondono a questi criteri e sono quindi definibili come rendite.

 

Occorre pertanto saper calcolare i principali valori di queste rendite a rata costante:

  • il valore attuale (V) di una rendita a rata costante annuale per un certo numero di anni
  • la rata annuale (R) da pagare per avere un certo valore attuale alla data iniziale o un certo montante alla data finale della rendita o prestito
  • il montante o valore finale (S) di una rendita a rata costante annuale (cioè il valore dopo il pagamento dell’ultima rata)

Altri valori importanti – che bisogna conoscere – per calcolare, con le nostre formule, quelli cercati sono:

  • il tasso di interesse (i)
  • il tempo in anni di durata del prestito (t)
  • eventualmente, la periodicità infrannuale della rata periodica (Rm), dove m è appunto la periodicità

E’ importante precisare inoltre che, per la ricerca dei suddetti valori, si usa sempre l’unico regime finanziario scindibile: quello dell’interesse composto.

Esistono vari tipi di rendita. Noi vedremo solo quelle più comuni, ovvero le rendite certe a rata costante per tutto il periodo di durata del prestito.

Tra queste distingueremo:

  • rendite a rate posticipate, in cui la rata è pagata alla fine dei periodi in cui è diviso il prestito (per es. a fine anno) e quindi l’ultima rata (R) coincide con la fine del tempo complessivo
  • rendite a rate anticipate, in cui invece la rata è pagata all’inizio dei periodi in cui è diviso il prestito (per es. ad inizio anno) e quindi la prima rata coincide con l’inizio del tempo complessivo

Su scala temporale le rendite posticipate sono così raffigurabili:

content_rendita posticipata

Mentre le rendite anticipate possono raffigurarsi così:

content_rendita anticipata

Vediamo come si arriva alle formule della rendita costante a rate posticipate, partendo da quelle dell’attualizzazione composta che ci sono note perché fatte nelle precedenti lezioni.

 

Se ad ogni fine anno (e per un certo numero t di anni) pago R, per conoscere il valore attuale di questa successione di pagamenti (rendita) non devo fare altro che la somma dei t importi attualizzati di R per ciascun singolo periodo. Cioè:

V = R / [(1 +i) + R/(1 +i)2 + … R/(1 +i)t-1 + R/(1 +i)t]

Alla fine di qualche passaggio matematico finalizzato alla semplificazione della suddetta somma (che vi risparmio), risulterà:

V = R {1 – [1 / (1 + i)t]} / i

in cui al termine [1 / (1 + i)t] può essere sostituito il fattore di attualizzazione v = [1 / (1 + i)], risultando così la più semplice formula della rendita posticipata:

V = R [(1 – vt) / i]

che sui libri di matematica potreste trovare scritto anche nella seguente forma:

V = R at┐i   in cui at┐i = [(1 – vt) / i]

che si legge “a figurato t al tasso i”.

Ovviamente, se invece del valore attuale V si volesse cercare l’importo della rata annuale costante R, la formula cambia in:

R = V / at┐i

oppure, per esteso

R = V / [(1 – vt) / i]

Abbiamo finora visto le formule per le rendite posticipate, è arrivato il momento di vedere la formula per il calcolo della rendita anticipata, in cui cioè il pagamento della rata costante avviene all’inizio di ciascun anno.

Vediamo adesso la formula delle rendite anticipate, che per semplificare al massimo possiamo esporre in funzione di quella per le rendite posticipate:

V = R (1 + i) at┐i

con (1 + i) a svolgere quindi il ruolo di fattore di correzione per trasformare il valore attuale di una rendita posticipata in rendita anticipata.

Ovviamente per calcolare la rata di una rendita anticipata sarà:

R = V / [(1 + i) at┐i]

Se invece del valore attuale (cioè ad oggi, inizio tempo complessivo) di una rendita volessimo calcolarne il montante a fine tempo complessivo (cioè il suo valore una volta pagate tutte le rate), allora le formule sono le seguenti:

S = R [(1 + i)t – 1] / i

per il montante di una rendita posticipata, che anche in questo caso si può scrivere:

S = R st┐i con st┐i = [(1 + i)t – 1] / i

Mentre per il montante di una rendita anticipata (sempre in funzione del montante posticipato):

S = R (1 + i) [(1 + i)t – 1] / i

oppure

S = R (1 + i) st┐i

con il termine (1 + i) a svolgere, anche qui, il ruolo di fattore di correzione per trasformare il montante di una rendita posticipata in rendita anticipata.

I montanti di una rendita costante possono essere espressi anche in funzione della formula del valore attuale della rendita posticipata:

S = R (1 + i)t at┐i per il montante posticipato

e

S = R (1 + i)t+1 at┐i per il montante anticipato


ESEMPIO 1

Calcolare il valore attuale di un pagamento costante annuo posticipato di euro 1.000 per 15 anni al tasso effettivo annuo del 3,50%.

V = 1.000 x {[1 – 1/(1 + 0,035)15] / 0,035} = 11.517,41


ESEMPIO 2

Calcolare la rata annuale posticipata di un prestito di euro 120.000, concesso per 20 anni al tasso effettivo annuo del 5,75%.

R = 120.000 /{[1 – 1/(1 + 0,0575)20] / 0,0575} = 10.250,82


Ecco una bella tabella riassuntiva di quanto abbiamo detto sulle rendite.

 

Valore attuale

Rata

Montante

Rata

Rendite posticipate

R [(1 – vt) / i]

oppure

R at┐i

V / at┐i

R [(1 + i)t – 1] / i

oppure

R st┐i

V / st┐i

Rendite anticipate

R (1 + i) at┐i

V / [(1 + i) at┐i]

R (1 + i) st┐i

V / [(1 + i) st┐i]

Rendite frazionate

Le rendite frazionate sono quelle rendite in cui i periodi alla scadenza dei quali avviene il pagamento della rata costante sono inferiori all’anno (per es. mensili).

Di conseguenza quasi tutti i mutui erogati dalle banche sono rendite frazionate, perché la rata da pagare ha generalmente periodicità inferiore all’anno, per lo più mensile.

In questo caso, per il calcolo del valore attuale o dell’importo della rata, non si fa altro che variare l’unità di misura delle formule da i = tasso annuale a im = tasso periodico, con m ad indicare appunto la periodicità infrannuale (per es. m = 12 significa che la rata è mensile).

Avremo quindi che la formula per il valore attuale diventa (con Rm = rata periodica):

V = Rm {1 – [1 / (1 + im)tm]} / im cioè

V = Rm [(1 – vtm) / imcon v = [1 / (1 + im)]

oppure, con la solita terminologia:

V = Rm atmim

in cui, come si vede, è stato cambiato i col tasso periodico im e t con il più ampio tempo t x m (perché i periodi sono maggiori in quanto infrannuale).

Se vogliamo esprimere la stessa formula in funzione di i, anziché di im, avremo (con R = rata annuale):

V = R [(1 – vt) / jm] cioè, scritta per esteso, V = R {1 – [1 / (1 + i)t]} / jm

formula nella quale interviene jm (ma solo al denominatore, perché al numeratore c’è sempre i) e per la quale si ricorda che (jm = im x m) ed anche che jm = m [(1 + i)1/m – 1]

La formula per calcolare V in funzione di i (e con l’intervento al denominatore di j) si può scrivere pure così:

V = R at┐i (i / jm)

in cui (i / jm) è detto “fattore di correzione”

oppure anche in questa nuova forma:

V = R at(m)i

dove m rappresenta come di consueto la periodicità della rata (m = 12 se la rata è mensile).

Peraltro è importante inserire in tutti i termini della formula della rendita il tasso annuale nominale jm al posto del tasso effettivo annuo i, perché le banche utilizzano proprio jm per esprimere il costo del finanziamento. Ciò perché il tasso nominale è quello pubblicizzato ed esso è più basso (a volte anche di molto) del tasso effettivo pagato, come interessi, dai mutuatari per rimborsare i loro prestiti.

Pertanto la seguente formulazione della rendita in funzione di jm è fondamentale quando si vuole calcolare da soli il valore attuale di un mutuo bancario:

V = Rm {1 – [1 / (1 + jm/m)tm]} / (jm/m)

oppure, per il calcolo della rata del mutuo bancario:

Rm = [V (jm/m)] / {1 – [1 / (1 + jm/m)tm]}


ESEMPIO

Calcolare la rata mensile posticipata di un prestito di euro 120.000, concesso per 15 anni al tasso nominale annuo del 6,00% (pari ad un tasso effettivo di 6,168%).

R12 = [120.000 x (0,06/12)] / {1 – [1 / (1 + 0,06/12)15×12]}= 1.012,63


Per concludere forniamo la tabella riassuntiva delle rendite frazionate.

Rendite frazionate

in funzione di i

in funzione di im

in funzione di jm

Calcolo del valore attuale

Rm at┐i (i / jm)

R [(1 – vtm) / im]

oppure

  R atm┐im

Rm {1 – [1 / (1 + jm/m)tm]} / (jm / m)

Calcolo della rata

V / [at┐i (i / jm)]

V / [(1 – vtm)/im]

oppure

V / atm┐im

[V (jm / m)] / {1 – [1 / (1 + jm/m)tm]}

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

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    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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