Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Ammortamento di un prestito indiviso (caso generale)

Ammortamento di un prestito indiviso in generale

L’ammortamento di un prestito indiviso (cioè di un prestito non diviso in titoli di credito, come le obbligazioni) è una forma di prestito in cui il rimborso del capitale ed il pagamento degli interessi avvengono secondo particolari modalità, tra le quali la più diffusa è quella che prevede l’esborso, da parte del debitore, di un certo numero di rate periodiche comprendenti capitale ed interessi.

L’elenco delle rate da rimborsare, ciascuna con la propria scadenza e nella quale spesso si sommano la quota capitale e la quota interessi, prende il nome di “piano di rimborso” del prestito, oppure, appunto, piano d’ammortamento del finanziamento.

 

Per quanto detto elementi essenziali dell’operazione di prestito con rimborso periodico sono:

  • il capitale iniziale (C) dato in prestito al debitore dal creditore (che in genere è una banca o una finanziaria)
  • l’importo delle rate periodiche (R), che può essere uguale per tutte le rate o variare dall’una all’altra
  • la periodicità delle rate, indicata con (m) quando è infrannuale, la quale il più delle volte è mensile, ma può essere anche semestrale, trimestrale, ecc… (con m=12 se mensile, m=2 se semestrale, ecc…)
  • il tasso di interesse (i) a cui viene regolato il finanziamento, sempre in regime di interesse composto
  • la durata complessiva del prestito (n), cioè il periodo che va dal momento di erogazione (quando la somma è data materialmente al debitore) al pagamento dell’ultima rata prevista nel piano d’ammortamento

Vediamo ora quali sono le principali forme di ammortamento dei prestiti concessi.

Ammortamento con rimborso unico del capitale

La forma più semplice di ammortamento è quella che prevede il rimborso ad un’unica scadenza, dopo n anni, di tutta la somma prestata (C) ed il pagamento alla fine di ciascun periodo degli interessi ad un certo tasso i.

Il seguente schema descrive, meglio di mille parole, l’ammortamento del tipo di prestito in questione.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

Ci

Ci

C

2

Ci

Ci

C

s

Ci

Ci

C

n – 1

Ci

Ci

C

n

C

Ci

C + Ci = C(1 + i)

=

Il debitore paga per n-1 anni solo gli interessi Ci calcolati sul debito residuo (che per tutta la durata n del prestito è sempre C), mentre alla fine dell’ultimo anno (l’n-simo) paga sia gli interessi Ci sia tutto il capitale C, che viene quindi rimborsato in unica soluzione alla fine del prestito (cioè dopo n anni).

Gli interessi da pagare alla fine di ogni periodo sono pertanto il semplice risultato del prodotto C*i.

Il valore attuale di tutte le somme pagate alla fine di ciascun periodo è (C), come si ricava facilmente dai seguenti passaggi in cui compare il fattore di attualizzazione (v):

Ci*v + Ci*v2 + … + Ci+vs + … + Ci*vn-1 + (Ci+C)*vn = C*vn + Ci*an┐i = C

E visto che il debito residuo è sempre lo stesso (C), anche se facciamo i conti all’ipotetico s-simo anno il valore attuale è ancora:

C*vn-s + Ci*an-s┐i = C

Ammortamento con rimborso periodico del capitale

Tranne il caso appena visto – molto raro nella realtà – i prestiti sono generalmente rimborsati mediante un piano di ammortamento caratterizzato dalla gradualità o progressività delle quote di capitale, ovvero dall’inclusione nelle singole rate di una quota-parte del capitale prestato, che va ad aggiungersi agli interessi calcolati sul debito residuo esistente al momento del pagamento della rata (cioè alla fine  di ciascun periodo).

Anche in questo caso un prospetto è meglio di tante parole.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

C1

(C1+C2+…+Cn)i=I1

C1 + I1

C2+…+Cn

2

C2

(C2+…+Cn)i=I2

C2 + I2

C3+…+Cn

s

Cs

(Cs+…+Cn)i=Is

Cs + Is

Cs+1+…+Cn

n – 1

Cn-1

(Cn-1+Cn)i=In-1

Cn-1 + In-1

Cn

n

Cn

Cni=In

Cn + In = Cn(1 + i)

=

Anche in questo tipo di ammortamento, progressivo, del prestito il valore attuale di tutto il finanziamento (quindi il valore attuale calcolato all’inizio, prima del pagamento della prima rata) è C, ovvero coincide con il capitale prestato.

 

Cambia invece il valore attuale all’s-simo ipotetico anno, perché il debito residuo del prestito varia (scende) di anno in anno a causa del rimborso delle quote di capitale alla fine di ciascun periodo.

Ecco il valore attuale alla fine del periodo s:

[Cs+1 + (Cs+1+…+Cn)i]*v + … + (Cn+ Cni)*vn-s = Cs+1 + … + Cn

che chiaramente coincide con il debito residuo del prestito alla fine dell’s-simo anno.

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

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  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

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    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

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  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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