Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Ammortamento francese

Ammortamento francese (progressivo a rate costanti)

Trattasi di un ammortamento graduale in cui le rate da pagare alla fine di ciascun anno sono calcolate in modo che esse rimangano costanti nel tempo (per tutta la durata n del prestito).

Le rate comprendo quindi una quota di capitale ed una quota di interessi le quali, combinandosi armoniosamente insieme, mantengono costante la rata periodica per tutti gli n anni.

Ciò è possibile in quanto la quota capitale è bassa all’inizio dell’ammortamento per poi aumentare progressivamente man mano che il prestito viene rimborsato. Viceversa (e da qui la costanza della rata) la quota interessi parte da un livello molto alto per poi scendere gradualmente nel corso del piano di ammortamento e questo andamento degli interessi non deve stupire, perché esso si spiega facilmente con il fatto che gli interessi sono calcolati su un debito residuo inizialmente alto e poi sempre più basso in virtù del rimborso progressivo del capitale che avviene ad ogni rata pagata.

 

Quasi tutti i finanziamenti delle banche italiane sono rimborsati con il metodo dell’ammortamento francese a rate costanti, che è quindi il più diffuso nel nostro Paese. Questa circostanza è probabilmente dovuta proprio alla semplicità della rata sempre uguale che caratterizza l’ammortamento in parola.

Innanzitutto quantifichiamo la rata fissa (R) del prestito e lo facciamo mediante la facile osservazione che, per quanto detto sulle rendite certe, vale la seguente espressione:

R * an┐i = C

e quindi ecco come si calcola la rata costante dell’ammortamento francese:

R = C / an┐i

Adesso vediamo come si possono calcolare le singole quote d’ammortamento del capitale (C1; C2;…Cn), tenendo presente che l’ultima rata del prestito – cioè quella pagata alla fine dell’anno n – ha il seguente valore (come si evince dalla tabella sopra riportata riguardante lo schema generale dell’ammortamento graduale o con rimborso periodico del capitale):

R = Cn(1 + i)

per cui

Cn = R*v

Partendo da tale constatazione e andando a ritroso con le rate abbiamo che la penultima rata è così rappresentabile:

Cn-1 = Cn*v

ovvero, sostituendo a Cn il prodotto R*v, risulta:

Cn-1 = R*v2

In altre parole le quote di ammortamento del capitale (C) costituiscono un progressione geometrica di ragione (1 + i), in cui la s-sima rata di capitale è espressa dalla seguente uguaglianza:

Cs = R*vn-s+1

così d’avere la seguente sequenza delle quote di capitale:

C1 = R*vn

C2 = R*vn-1

Cn = R*v

La quota di interessi di ogni singola rata la possiamo calcolare semplicemente come differenza tra R e la quota di capitale della rata, cioè:

I1 = R(1-vn)

I2 = R(1-vn-1)

Is = R(1-v)

Rimane solo da quantificare il debito residuo, ossia il valore attuale del prestito al momento s (che sarà pari a C se s=0 e pari a zero se s=n).

 

Anche in questo caso possiamo fare riferimento alle nostre lezioni sulle rendite e scrivere la seguente formula riferita, a titolo esemplificativo, alla rata s:

Debito residuo alla fine dell’s-simo anno = R *an-s┐i

Riassumiamo tutto quello che abbiamo detto sull’ammortamento francese nella tabella appresso rappresentata.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

R*vn

R(1-vn)

R = C/an┐i

R*an-1┐i

2

R*vn-1

R(1-vn-1)

R = C/an┐i

R*an-2┐i

s

R*vn-s+1

R(1-vn-s+1)

R = C/an┐i

R*an-s┐i

n – 1

R*v2

R(1-v2)

R = C/an┐i

R*a1┐i

n

R*v

R(1-v)

R = C/an┐i

=

Facciamo un facile esempio per capire bene l’ammortamento francese a rate costanti.

Ipotizziamo l’erogazione di un mutuo di euro 100.000, rimborsabile in 15 anni con rate annuali costanti, al tasso di interesse del 5%. I dati certi del problema sono dunque:

C = 100.000

n = 15

i = 5%

Pertanto, dopo gli opportuni calcoli, il nostro consueto prospetto si riempirebbe con i valori di seguito riportati.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

4.634,23

5.000,00

9.634,23

95.365,77

2

4.865,94

4.768,29

9.634,23

90.499,83

14

8.738,53

895,70

9.634,23

9.175,46

15

9.175,46

458,77

9.634,23

=

 

Ammortamento francese a rate periodiche infrannuali

Nell’eventualità – molto probabile nella quotidiana realtà bancaria – in cui le rate abbiano una periodicità non annuale, ma frazionata o infrannuale (per es. semestrale, trimestrale oppure, com’è nella stragrande maggioranza dei casi, mensile), come cambiano le nostre formule dell’ammortamento francese?

Premettiamo che si indica con (m) la periodicità infrannuale delle rate, essendo (m) il numero delle volte che l’anno solare contiene il periodo infrannuale.

Avremo quindi:

Rm = R12         per la rata mensile (la più frequente)

Rm = R4           per la rata trimestrale

Rm = R3           per la rata quadrimestrale

Rm = R2           per la rata semestrale

Per conoscere i valori dell’ammortamento francese con rata infrannuale un metodo semplice consiste nel calcolare il tasso di interesse mensile, partendo da quello annuale, mediante le formule dei tassi equivalenti valevoli nel regime ad interesse composto (per la precisione usando l’equazione: im = (1 + i)1/m – 1).

Avendo non più (i) ma (im), l’ammortamento è identico a quello già considerato, salvo sostituire al termina “anno” la frase “1/m di anno”, al tasso i appunto il tasso equivalente im e alla durata complessiva del prestito n il nuovo valore n*m.

Tuttavia, dal punto di vista pratico, bisogna osservare che nel mondo dei prestiti si usa indicare il tasso nominale annuo Jm anche nei casi di ammortamento con rate periodiche frazionate (in 1/m d’anno). Di conseguenza il nuovo valore della rata si calcola nel modo seguente:

R = C / (m*an(m)i)    oppure, il che è lo stesso, con: R = C / an┐i (i / jm)

Espressioni in cui compare appunto il tasso di interesse nominale annuo jm già visto nella spiegazione del regime ad interesse composto, la cui quantificazione partendo da i è data dalla formula:

jm = m [(1 + i)1/m – 1]

Forniamo anche per il caso delle rate frazionate o infrannuali lo specchietto riassuntivo dei valori.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

R*v(n*m)/m

R(1- v(n*m)/m)

R = C/(m*an(m)i)

R(m*an-1/2(m)i)

2

R*v(n*m-1)/m

R(1- v(n*m-1)/m)

R = C/(m*an(m)i)

R(m*an-1(m)i)

n – 1

R*v2/2

R(1- v2/2)

R = C/(m*an(m)i)

R(m*a1/2(m)i)

n

R*v1/2

R(1- v1/2)

R = C/(m*an(m)i)

=

Faccio un esempio anche per il caso delle rate infrannuali.

Ipotizziamo l’erogazione di un mutuo di euro 10.000, rimborsabile in 3 anni con rate semestrali costanti, al tasso di interesse del 5%. I dati certi del problema sono dunque:

C = 10.000

n = 3

i = 5%

m = 2

Pertanto, dopo gli opportuni calcoli, il nostro consueto prospetto si riempirebbe con i valori di seguito riportati.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

1.566,70

246,95

1.813,65

8.433,30

2

1.605,39

208,26

1.813,65

6.827,91

5

1.727,28

86,36

1.813,65

1.769,94

6

1.769,94

43,71

1.813,65

=

Autore: Steve Round

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16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

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  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

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  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

    Rispondi al Commento
    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

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  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

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  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

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  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

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  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

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  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

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  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

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  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

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