Ammortamento francese

Ammortamento francese (progressivo a rate costanti)

Trattasi di un ammortamento graduale in cui le rate da pagare alla fine di ciascun anno sono calcolate in modo che esse rimangano costanti nel tempo (per tutta la durata n del prestito).

Le rate comprendo quindi una quota di capitale ed una quota di interessi le quali, combinandosi armoniosamente insieme, mantengono costante la rata periodica per tutti gli n anni.

Ciò è possibile in quanto la quota capitale è bassa all’inizio dell’ammortamento per poi aumentare progressivamente man mano che il prestito viene rimborsato. Viceversa (e da qui la costanza della rata) la quota interessi parte da un livello molto alto per poi scendere gradualmente nel corso del piano di ammortamento e questo andamento degli interessi non deve stupire, perché esso si spiega facilmente con il fatto che gli interessi sono calcolati su un debito residuo inizialmente alto e poi sempre più basso in virtù del rimborso progressivo del capitale che avviene ad ogni rata pagata.

Quasi tutti i finanziamenti delle banche italiane sono rimborsati con il metodo dell’ammortamento francese a rate costanti, che è quindi il più diffuso nel nostro Paese. Questa circostanza è probabilmente dovuta proprio alla semplicità della rata sempre uguale che caratterizza l’ammortamento in parola.

Innanzitutto quantifichiamo la rata fissa (R) del prestito e lo facciamo mediante la facile osservazione che, per quanto detto sulle rendite certe, vale la seguente espressione:

R * a_n┐i = C

e quindi ecco come si calcola la rata costante dell’ammortamento francese:

R = C / a_n┐i

Adesso vediamo come si possono calcolare le singole quote d’ammortamento del capitale (C₁; C₂; …C_n), tenendo presente che l’ultima rata del prestito – cioè quella pagata alla fine dell’anno n – ha il seguente valore (come si evince dalla tabella sopra riportata riguardante lo schema generale dell’ammortamento graduale o con rimborso periodico del capitale):

R = C_n(1 + i)

per cui

C_n = R*v

Partendo da tale constatazione e andando a ritroso con le rate abbiamo che la penultima rata è così rappresentabile:

C_n-1 = C_n*v

ovvero, sostituendo a C_n il prodotto R*v, risulta:

C_n-1 = R*v²

In altre parole le quote di ammortamento del capitale (C) costituiscono una progressione geometrica di ragione (1 + i), in cui la s-sima rata di capitale è espressa dalla seguente uguaglianza:

C_s = R*v^n-s+1

così d’avere la seguente sequenza delle quote di capitale:

C₁ = R*vⁿ

C₂ = R*v^n-1

…

C_n = R*v

La quota di interessi di ogni singola rata la possiamo calcolare semplicemente come differenza tra R e la quota di capitale della rata, cioè:

I₁ = R(1-vⁿ)

I₂ = R(1-v^n-1)

…

I_s = R(1-v)

Rimane solo da quantificare il debito residuo, ossia il valore attuale del prestito al momento s (che sarà pari a C se s=0 e pari a zero se s=n).

Anche in questo caso possiamo fare riferimento alle nostre lezioni sulle rendite e scrivere la seguente formula riferita, a titolo esemplificativo, alla rata s:

Debito residuo alla fine dell’s-simo anno = R *a_n-s┐i

Riassumiamo tutto quello che abbiamo detto sull’ammortamento francese nella tabella appresso rappresentata.

Facciamo un facile esempio per capire bene l’ammortamento francese a rate costanti.

Ipotizziamo l’erogazione di un mutuo di euro 100.000, rimborsabile in 15 anni con rate annuali costanti, al tasso di interesse del 5%. I dati certi del problema sono dunque:

C = 100.000

n = 15

i = 5%

Pertanto, dopo gli opportuni calcoli, il nostro consueto prospetto si riempirebbe con i valori di seguito riportati.

Ammortamento francese a rate periodiche infrannuali

Nell’eventualità – molto probabile nella quotidiana realtà bancaria – in cui le rate abbiano una periodicità non annuale, ma frazionata o infrannuale (per es. semestrale, trimestrale oppure, com’è nella stragrande maggioranza dei casi, mensile), come cambiano le nostre formule dell’ammortamento francese?

Premettiamo che si indica con (m) la periodicità infrannuale delle rate, essendo (m) il numero delle volte che l’anno solare contiene il periodo infrannuale.

Avremo quindi:

R_m = R₁₂         per la rata mensile (la più frequente)

R_m = R₄           per la rata trimestrale

R_m = R₃           per la rata quadrimestrale

R_m = R₂           per la rata semestrale

Per conoscere i valori dell’ammortamento francese con rata infrannuale un metodo semplice consiste nel calcolare il tasso di interesse mensile, partendo da quello annuale, mediante le formule dei tassi equivalenti valevoli nel regime ad interesse composto (per la precisione usando l’equazione: i_m = (1 + i)^1/m – 1).

Avendo non più (i) ma (i_m), l’ammortamento è identico a quello già considerato, salvo sostituire al termina “anno” la frase “1/m di anno”, al tasso i appunto il tasso equivalente i_m e alla durata complessiva del prestito n il nuovo valore n*m.

Tuttavia, dal punto di vista pratico, bisogna osservare che nel mondo dei prestiti si usa indicare il tasso nominale annuo J_m anche nei casi di ammortamento con rate periodiche frazionate (in 1/m d’anno). Di conseguenza il nuovo valore della rata si calcola nel modo seguente:

R = C / (m*a_n┐^(m)i)    oppure, il che è lo stesso, con: R = C / a_n┐i (i / j_m)

Espressioni in cui compare appunto il tasso di interesse nominale annuo j_m già visto nella spiegazione del regime ad interesse composto, la cui quantificazione partendo da i è data dalla formula:

j_m = m [(1 + i)^1/m – 1]

Forniamo anche per il caso delle rate frazionate o infrannuali lo specchietto riassuntivo dei valori.

Faccio un esempio anche per il caso delle rate infrannuali.

Ipotizziamo l’erogazione di un mutuo di euro 10.000, rimborsabile in 3 anni con rate semestrali costanti, al tasso di interesse del 5%. I dati certi del problema sono dunque:

C = 10.000

n = 3

i = 5%

m = 2

Pertanto, dopo gli opportuni calcoli, il nostro consueto prospetto si riempirebbe con i valori di seguito riportati.