Lezioni di matematica finanziaria

Le formule e i concetti di matematica finanziaria spiegati in maniera semplice

Ammortamento italiano, tedesco e americano

Ammortamento italiano (progressivo a quote di capitale costanti)

E’ un altro caso particolare degli ammortamenti progressivi o graduali. Si caratterizza per il fatto che in questo piano di rimborso sono costanti le quote di capitale (e non le rate come in quello francese).

Le quote di capitali sono quindi tutte uguali a:

C / n

E pertanto il piano d’ammortamento del mutuo assume la configurazione indicata nella tabella che segue.

 

In essa sono ancora una volta riportati i valori del periodo cui si riferiscono le rate, della rata periodica stessa, distinta nella sua componente di quota capitale e quota interessi (con la somma, che costituisce la rata vera e propria), e del debito residuo.

Periodo

Rata

Debito residuo

Quota capitale

Quota interessi

Rata complessiva

1

C / n

Ci

(C/n)*(1+ni)

(C/n)*(n-1)

2

C / n

Ci[(n-1)/n]

(C/n)*[1+(n-1)i]

(C/n)*(n-2)

n – 1

C / n

Ci(2/n)

(C/n)*(1+2i)

C/n

n

C / n

Ci(1/n)

(C/n)*(1+i)

=

 

Ammortamento tedesco (progressivo con interessi anticipati)

In questo ammortamento gli interessi sono pagati all’inizio di ogni periodo (anziché alla fine) e pertanto si utilizza per i calcoli il tasso di interesse anticipato o tasso di sconto d.

Ogni anno sono corrisposte 2 rate:

  • quella di interesse all’inizio
  • quella di capitale alla fine

Per capire i valori dell’ammortamento tedesco si può utilizzare lo schema generale del piano di rimborso periodico del capitale, in cui però avremo cura di spostare verso l’alto  di un periodo (cioè di anticipare di un anno) le righe della colonna “Quota interessi”, partendo quindi dall’anno zero.

Infatti l’ammortamento tedesco opera come segue:

  • alla stipulazione del prestito (anno 0) il debitore corrisponde solo la quota degli interessi del primo anno (ovvero la prima riga della quota interessi)
  • dopo un anno egli corrisponde la prima quota capitale e la quota interessi del secondo anno
  • dopo n-1 anni egli corrisponde la quota di capitale del penultimo anno e la quota interessi dell’ultimo anno
  • dopo n anni il debitore corrisponde solo l’ultima quota di capitale (quella dell’ultimo anno)

Anche l’ammortamento francese può essere adattato per “diventare tedesco”, ovvero per prevedere il pagamento degli interessi ad ogni inizio periodo, anziché alla fine.

E’ sufficiente lasciare inalterate le formule per il calcolo della quota capitale (che continua ad essere corrisposta alla fine di ciascun periodo) e modificare le formule della quota interessi per tenere conto che ad ogni inizio anno il debitore pagherà la somma derivante dall’applicazione del tasso di sconto d all’importo del debito residuo risultante alla fine dell’anno precedente.

Quest’ultimo valore è quindi il risultato del debito residuo relativo all’anno precedente moltiplicato per d, oppure, il che è lo stesso, della quota di interessi posticipati (contenuta nella tabella dell’ammortamento francese) divisa per (1+i) per anticiparla di un anno.

Ammortamento americano (con quote di accumulazione del capitale)

Si tratta del classico prestito visto nei punti precedenti in cui però il debitore s’impegna a corrispondere al creditore, alla fine di ciascun anno, solo gli interessi al tasso di interesse i1 (che d’ora in poi chiameremo tasso di remunerazione). Per il capitale invece, allo scopo di restituirlo dopo n anni, il debitore s’impegna a versare annualmente una quota di importo tale da ricostituire, insieme agli interessi composti in base al tasso stabilito i (che d’ora in poi chiameremo tasso di accumulazione e che può essere uguale o diverso dal tasso di remunerazione i), la somma inizialmente prestata C, ovvero il capitale.

 

Si tratta quindi del normale prestito con rate periodiche costanti in cui però il debitore ricostituisce la somma prestata mediante n quote di accumulazione, sulle quali si applica un tasso di interesse i al solo fine della loro accumulazione in regime composto.

Come detto il tasso di accumulazione i può essere anche diverso da quello di remunerazione i1 al quale si calcolano gli interessi sul capitale da pagare annualmente al creditore.

CASO IN CUI i1 = i

Se i due tassi coincidono, ovvero se i1 = i, avremo che la quota di accumulazione annuale da versare da parte del debitore, per ricostituire il capitale al tasso i dopo n anni, potrà essere quantificata sulla base delle seguenti espressioni:

C = Q * sn┐i

con sn┐i = [(1 + i)n – 1] / i

e quindi:

Q = C / sn┐i

La rata che il debitore deve pagare annualmente per estinguere il suo debito, comprensiva degli interessi sulla somma prestata e della quota di accumulazione, entrambe al tasso i, sarà pari alla stessa R che abbiamo visto nell’ammortamento francese e cioè:

R = C / an┐i

Anche il debito residuo alla fine dell’ s-imo anno sarà pari alla stessa formula dell’ammortamento francese e cioè:

R *an-s┐i

Invece, il fondo accumulato a favore del creditore alla fine dell’ s-imo anno sarà uguale a:

Q * ss┐i = C * (ss┐i / sn┐i)

CASO IN CUI i1 ≠ i

Se i due tassi non coincidono, ovvero se i1 ≠i, avremo che la Rata da versare da parte del debitore (che chiameremo R [i,i1] ), necessaria a pagare gli interessi al tasso i1 ed a ricostituire il capitale al tasso i , sarà così quantificabile:

R [i,i1] = C(1/sn┐i + i1)

Il fondo accumulato alla fine dell’ s-imo anno sarà lo stesso del caso precedente in cui i1 = i e cioè:

Q * ss┐i = C * (ss┐i / sn┐i)

Mentre per il debito residuo dobbiamo distinguere a seconda se la risoluzione anticipata del contratto di prestito (e quindi il pagamento del debito residuo a quel momento) avviene ad opera del creditore o del debitore.

Se è il creditore a risolvere anticipatamente il contratto di prestito, allora il debitore dovrà versargli un debito residuo esattamente uguale a quello quantificato precedentemente:

C – (Q * ss┐i) = R *an-s┐i

Invece se è il debitore a voler risolvere anticipatamente il contratto di mutuo, il creditore, subendo un danno per gli interessi persi (differenza di i1–i) per i rimanenti n-s anni, potrà chiedere la restituzione del debito residuo risultante dal seguente conteggio:

R [i,i1] * an-s┐i

Infine può essere interessante confrontare la rata dell’ammortamento americano appena vista con quella dell’ammortamento francese (più tradizionale) di cui si è parlato precedentemente. Dal confronto emerge la seguente particolare situazione:

R [i,i1] = R + C(i1–i)

Pertanto, a seconda se il tasso di remunerazione i1 sia maggiore o minore de tasso di accumulazione i, la rata annua R [i,i1] del prestito americano risulta rispettivamente maggiore o minore della rata R dell’ammortamento francese al tasso i. Più precisamente la R [i,i1] risulta pari alla R francese, aumentata di una quota di soprainteresse o diminuita di una quota di sottointeresse, in base alla differenza tra il tasso di remunerazione i1 e quello di accumulazione i.

Autore: Steve Round

Condividi questo articolo su

16 Commenti

  1. Buongiorno, nell’ultima riga della tabella DELL’AMMORTAMENTO ITALIANO nella colonna interessi c’è scritto che gli interessi sono Cin in realtà sono Ci(1/n). Per favore correggete, grazie.

    Rispondi al Commento
  2. Salve. Nel primo esercizio sull’ammortamento francese (progressivo a rate costanti) la quota capitale, come è scritto nella tabella, viene calcolata con R*v^n. Volevo capire come si calcola R o se è già data?
    Grazie

    Rispondi al Commento
    • In qualsiasi formula quello che sta da una parte dell’uguaglianza è il valore da cercare, quello che sta dall’altra sono i valori noti da utilizzare per il calcolo.
      Se il valore che cerchi sta dalla parte sbagliata dell’uguaglianza, devi usare la formula inversa, ovvero devi isolare il valore da cercare da una parte e portare dall’altra i valori già noti da usare per il calcolo.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  3. Ho notato che nell’ esempio 2 i valori numerici della formula forse sono sbagliati.
    Non dovrebbe essere infatti:
    V= 2649.91 * (1-0.1304348)^5/12

    Rispondi al Commento
    • Abbiamo corretto la formula.
      Grazie Federica per la puntuale precisazione.
      Ciao

      Rispondi al Commento
  4. Da ignorante in materia vorrei sapere perchè nei mutui un tasso di interesse in regime di capitalizzazione composta aumenta con l’aumentare della frequenza delle rate di rimborso, ovvero in rate mensili è maggiore di quanto sia nelle rate annuali, se, come dicono le banche, non vi è anatocismo,grazie.

    Rispondi al Commento
  5. Buonasera,
    come faccio a sapere se e’ applicata una capitalizzazione semplice o composta ad un prestito obbligazionario?(obbligazioni di Banca E. Ad esempio…)
    Grazie
    Cordiali saluti
    federico

    Rispondi al Commento
  6. Salve, volevo chiedere come mai a parità di tasso nel breve periodo risulta maggiore l’interesse semplice e non quello composto? Grazie in aticipo.

    Rispondi al Commento
  7. avrei un problema: TIZIO ha acquistato alla pari un’obbligazione di durata settennale con cedola annua c= 4.10% staccata trimestralmente.. come determino il livello dei tassi ipotizzando una struttura piatta?

    Rispondi al Commento
  8. Salve a tutti ! Io avrei da sottoporvi questo problema: dovrei trovare il valore del fattore di attualizzazione riferito alla seguente operazione: al 31/01/1992 ho una disponibilità 10.000 euro che si cede in cambio di 9.800 al 15/11/1991. Come s.i risolve? ps. non c’è il risultato…Grazie per chi mi illustrerà il procedimento. Buona serata

    Rispondi al Commento
  9. Cara gloria è molto più semplice di quello che sembra. Devi partire dalla fine: prima calcola il capitale con il regime dell’interesse semplice del montante di 3200, e poi, avendo il valore attuale, il capitale a scadenza ed il tasso, calcoli il tempo del credito di 3050 con il regime dello sconto razionale. Ciao

    Rispondi al Commento
  10. io ho questo problema qua che mi fa dannare se riusciste ad aiutarmi: Un credito di 3050 viene incassato prima della scadenza, con sconto razionale al tasso d interesse del 7% annuo. La somma incassata viene impegnata a interesse semplice del 7.5 % per 30 gg producendo un montante di 3200 . Quanto tempo prima e stato incassato il credito ? Soluzione ( 2 mesi 5 giorni)

    Rispondi al Commento
  11. come risolvo questo problema una cambiale di euro 800 con scadenza fra due mesi viene presentata in banca per ottenere il pagamento anticipato calcolare lo sconto al tasso del 21%

    Rispondi al Commento

Invia commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.