Esistono centinaia di tipi di figurine da raccogliere negli appositi albi: calciatori, animali, cartoni animati, telefilm, fumetti, giochi di carte, ecc…
E non si collezionano solo figurine: anche pupazzetti (per es. quelli contenuti nelle confezioni di merendine), giochini vari e tanti altri gadget posti in vendita appunto per essere collezionati.
Tutti abbiamo iniziato (e forse concluso) nella nostra vita almeno una raccolta di figurine o di qualche altro oggetto da collezione.
E quindi sappiamo bene come sia facile ritrovarsi con dei “doppioni” sgraditi, cioè figurine che non ci servono a niente (perché già le abbiamo) e che inesorabilmente ritardano il completamento della nostra raccolta (senza contare il costo, inutile, per queste figurine “doppie”).
Pochi sanno però che esiste un calcolo per sapere quante figurine (o gadget vari) dobbiamo compare in media per finire la collezione che abbiamo iniziato.
In altre parole la matematica ci aiuta, con una semplice formula, a preventivare la spesa da affrontare per portare a termine la raccolta che vogliamo fare, tenendo conto dei “doppioni” che inevitabilmente ci capiterà di acquistare.
Questa formula varia a seconda del numero di figurine necessario a completare il raccoglitore o l’albo della raccolta e ci dice qual è il numero statistico di figurine che sarà necessario compare per finire la collezione.
Infatti, il numero di figurine da comprare sarà sempre più grande del numero di figurine dell’albo, a causa degli inevitabili “doppioni” che ci ritroveremo, indesideratamente, tra le mani.
Ma quanto più grande? Cioè quante figurine occorre acquistare per completare un albo di N figurine?
Possiamo calcolare questo numero con la nostra formula. Eccola qui:
n. figurine da comprare = N x (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/N)
dove N è appunto il numero di figurine dell’albo, cioè gli spazi bianchi del raccoglitore da riempire con le figurine.
Per chi è pratico di logaritmi naturali (o neperiani) e vuole semplificarsi quindi la vita, la formula suddetta può essere scritta anche così, che è un’approssimazione della precedente per N sufficientemente grande:
n. figurine da comprare = N x [0,58 + ln(N)]
ove ln(N) è appunto il logaritmo naturale di N.
Ad esempio con un albo che contiene 100 figurine dovremmo acquistare ben 519 figurine per essere probabilisticamente sicuri di completarlo: addirittura 419 figurine in più di quelle della raccolta e ciò a causa dei doppioni.
Per fortuna che per avere le figurine non è necessario per forza comprarle, possiamo scambiarle con altre persone che fanno la nostra stessa raccolta.
La possibilità di “scambiare” le figurine con altri collezionisti è una grande svolta, se non altro perché ci fa risparmiare un sacco di soldi.
E allora la domanda potrebbe essere: di quante figurine avrei bisogno se considero la possibilità di scambiarle con un certo numero (chiamiamolo D) di persone.
Esiste una formula anche per questo caso. Eccola:
n. figurine da comprare con gli “scambi” = N x {0,58 + ln(N) + D x ln[ln(N)]}
dove D è il numero di persone con cui scambiare le figurine (la formula si riferisce all’insieme delle D persone).
Nell’esempio precedente di una raccolta di 100 figurine il risparmio sarebbe in media di 183 figurine, qualora avessimo una persona con cui scambiarle, e di ben 366 figurine (il doppio) se avessimo invece 2 persone con cui fare gli scambi. Pertanto nel primo caso ci sarebbero sufficienti statisticamente solo 336 figurine da comprare per ultimare la collezione, mentre nel secondo caso ne basterebbero (in media) solo 153.
Per chi non vuole fare la fatica dei calcoli forniamo una tabella con i risultati delle precedenti formule, riferite ai principali valori di N (numero di figurine della raccolta) e per un D (numero delle persone con cui scambiare figurine) pari ad una e 2 persone.
|
numero figurine dell’albo |
n. figurine da comprare |
n. figurine da comprare quando si scambiano con una persona |
n. figurine da comprare quando si scambiano con 2 persone |
|
5 |
11 |
7 |
5 |
|
10 |
29 |
19 |
15 |
|
50 |
225 |
147 |
120 |
|
100 |
519 |
336 |
275 |
|
150 |
839 |
540 |
441 |
|
200 |
1.176 |
755 |
614 |
|
250 |
1.525 |
976 |
793 |
|
300 |
1.885 |
1.204 |
977 |
|
350 |
2.253 |
1.436 |
1.164 |
|
400 |
2.629 |
1.672 |
1.354 |
|
450 |
3.010 |
1.912 |
1.546 |
|
500 |
3.396 |
2.155 |
1.741 |
Si riporta anche un grafico con il numero delle figurine da comprare per ciascun valore di N (numero di figurine dell’albo) ed il risparmio che si ottiene scambiandole con una o 2 persone.
Dove poter leggere la dimostrazione della formula per nlog(n) per completare l’album di figurine?