Può essere interessante conoscere il tempo necessario affinché una somma di denaro investita ad un certo tasso di interesse (per es. in obbligazioni o semplicemente depositata su un conto corrente) diventi esattamente il doppio del suo ammontare iniziale.

La formula dell’interesse composto a capitalizzazione annuale è la seguente:

C (1 + r/100)ⁿ

dove “C” è il capitale iniziale, “r” è il tasso di interesse in percentuale (p.es. 4%) e “n” è il tempo cercato.

Per cui il problema si riduce a trovare la “n” che risolve l’equazione:

C (1 + r/100)ⁿ  = 2C    ovvero (1 + r/100)ⁿ  = 2

Questa formula (che necessita per la sua soluzione dell’uso dei logaritmi) fu risolta già nel 1494 dal grande matematico Luca Pacioli, l’inventore del metodo di contabilità che ancora oggi si utilizza.

Pacioli scrisse che un capitale qualsiasi si raddoppia in un numero di anni pari a 72 diviso il tasso di interesse, cioè:

72 / r

Per esempio un capitale di € 10.000 investito al tasso del 4% annuo diventa di € 20.000 in 18 anni (72/4 = 18).

Tuttavia l’equazione di Pacioli non è completamente esatta, ma fornisce una buona approssimazione quando i tassi considerati sono intorno all’8%, mentre dà un risultato un po’ grossolano quando gli stessi se ne discostano (evidentemente, ai tempi di Pacioli il tasso di mercato usato negli scambi monetari era dell’8% o comunque molto vicino ad esso).

Pertanto ho ricalcolato (con l’uso del computer) le soluzioni della funzione suindicata ed ho trovato una formula che esprime, in modo semplice, il tempo di raddoppio del capitale con un errore medio di circa l’uno per mille per tassi che vanno dallo zero al 20%.

Eccola, è solo un po’ più difficile di quella già indicata:

Tempo di raddoppio del capitale = (69,32 / r) + 0,34

Ovviamente la regola esposta può essere utilizzata anche per calcolare fenomeni non finanziari.

Per esempio se in Italia il parco autovetture cresce dell’1,8% all’anno, quanto ci vorrà per raddoppiare il numero di automobili in circolazione nel nostro paese? Applicando la formula scopriamo che in meno di 39 anni le vetture sulle strade italiane saranno esattamente il doppio di quelle attuali. Ipotizzando un tasso costante di crescita delle auto, è facile quindi prevedere che i nostri figli avranno nel 2047 qualche problemino di circolazione stradale!